微分積分例

$\frac{d y}{d x} = {(15 x^{2} - 6)}^{2}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

${(15 x^{2} - 6)}^{2}$ を展開します。

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ステップ 2.3.1.1

${(15 x^{2} - 6)}^{2}$ を $(15 x^{2} - 6) (15 x^{2} - 6)$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \int (15 x^{2} - 6) (15 x^{2} - 6) d x$

ステップ 2.3.1.2

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2} - 6) - 6 (15 x^{2} - 6) d x$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2}) + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2} - 6) d x$

ステップ 2.3.1.4

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2}) + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

ステップ 2.3.1.5

$x^{2}$ を移動させます。

$y + C_{1} = \int 15 \cdot 15 x^{2} x^{2} + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

ステップ 2.3.1.6

$x^{2}$ を移動させます。

$y + C_{1} = \int 15 \cdot 15 x^{2} x^{2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

ステップ 2.3.1.7

$15$ に $15$ をかけます。

$y + C_{1} = \int 225 x^{2} x^{2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

ステップ 2.3.1.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \int 225 x^{2 + 2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

ステップ 2.3.1.9

$2$ と $2$ をたし算します。

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

ステップ 2.3.1.10

$15$ に $- 6$ をかけます。

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

ステップ 2.3.1.11

$- 6$ に $15$ をかけます。

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 90 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

ステップ 2.3.1.12

$- 6$ に $- 6$ をかけます。

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 90 x^{2} + 36 d x$

ステップ 2.3.1.13

$- 90 x^{2}$ から $90 x^{2}$ を引きます。

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 180 x^{2} + 36 d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} d x + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

ステップ 2.3.3

$225$ は $x$ に対して定数なので、 $225$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 225 \int x^{4} d x + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

ステップ 2.3.5

$- 180$ は $x$ に対して定数なので、 $- 180$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 \int x^{2} d x + \int 36 d x$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 36 d x$

ステップ 2.3.7

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

ステップ 2.3.8

簡約します。

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ステップ 2.3.8.1

簡約します。

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ステップ 2.3.8.1.1

$\frac{1}{5}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 225 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

ステップ 2.3.8.1.2

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 225 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 180 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

ステップ 2.3.8.2

簡約します。

$y + C_{1} = 45 x^{5} - 60 x^{3} + 36 x + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = 45 x^{5} - 60 x^{3} + 36 x + K$

微分積分 例

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