微分積分例

$\frac{d u}{d t} = 35 + 7 u + 5 t + u t$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数分解。

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ステップ 1.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{d u}{d t} = (35 + 7 u) + 5 t + u t$

ステップ 1.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{d u}{d t} = 7 (5 + u) + t \cdot (5 + u)$

ステップ 1.1.2

最大公約数 $5 + u$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{d u}{d t} = (5 + u) (7 + t)$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{5 + u}$ を掛けます。

$\frac{1}{5 + u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{5 + u} ((5 + u) (7 + t))$

ステップ 1.3

$5 + u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{5 + u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{5 + u} ((5 + u) (7 + t))$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{5 + u} \frac{d u}{d t} = 7 + t$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{5 + u} d u = (7 + t) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{5 + u} d u = \int 7 + t d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u_{1} = 5 + u$ とします。次に $d u_{1} = d u$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = 5 + u$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d u}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$5 + u$ を微分します。

$\frac{d}{d u} [5 + u]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $5 + u$ の $u$ に関する積分は $\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [u]$ です。

$\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [u]$

ステップ 2.2.1.1.3

$5$ は $u$ について定数なので、 $u$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d u} [u]$

ステップ 2.2.1.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 2.2.1.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int 7 + t d t$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int 7 + t d t$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $5 + u$ で置き換えます。

$\ln (| 5 + u |) + C_{1} = \int 7 + t d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| 5 + u |) + C_{1} = \int 7 d t + \int t d t$

ステップ 2.3.2

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| 5 + u |) + C_{1} = 7 t + C_{2} + \int t d t$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$\ln (| 5 + u |) + C_{1} = 7 t + C_{2} + \frac{1}{2} t^{2} + C_{3}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\ln (| 5 + u |) + C_{1} = 7 t + \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5

項を並べ替えます。

$\ln (| 5 + u |) + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 7 t + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| 5 + u |) = \frac{1}{2} t^{2} + 7 t + C$

ステップ 3

$u$ について解きます。

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ステップ 3.1

$u$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| 5 + u |)} = e^{\frac{1}{2} t^{2} + 7 t + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| 5 + u |) = \frac{1}{2} t^{2} + 7 t + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{1}{2} t^{2} + 7 t + C} = | 5 + u |$

ステップ 3.3

$u$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| 5 + u | = e^{\frac{1}{2} t^{2} + 7 t + C}$ として書き換えます。

$| 5 + u | = e^{\frac{1}{2} t^{2} + 7 t + C}$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$| 5 + u | = e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t + C}$

ステップ 3.3.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$5 + u = \pm e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t + C}$

ステップ 3.3.4

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$u = \pm e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t + C} - 5$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t + C}$ を $e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t} e^{C}$ に書き換えます。

$u = \pm e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t} e^{C} - 5$

ステップ 4.2

$e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$u = \pm e^{C} e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t} - 5$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$u = C e^{\frac{t^{2}}{2} + 7 t} - 5$

微分積分 例

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