微分積分例

$(2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y d x + (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [(2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y]$

ステップ 1.2

$f (y) = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ および $g (y) = y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.2

$2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{d}{d y} [2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 1.3.4

$2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (0 + \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 1.3.5

$0$ と $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.6

$2 x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 1.3.7

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

ステップ 1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}))$

ステップ 1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}))$

ステップ 1.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}))$

ステップ 1.9

$\frac{1}{2}$ と $y^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (2 x^{2} \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 1.10

$2$ と $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y (x^{2} \frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 1.11

$x^{2}$ と $\frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{x^{2} (2 y^{- \frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 1.12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.12.1

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{2 \cdot x^{2} y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.12.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{2 x^{2}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13

共通因数を約分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{2 x^{2}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.14

式を書き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y \frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.15

$y$ と $\frac{x^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + \frac{y x^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.16

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $y^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y x^{2} y^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.17

指数を足して $y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.1

$y^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2}} y x^{2}$

ステップ 1.17.2

$y^{- \frac{1}{2}}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2}} y^{1} x^{2}$

ステップ 1.17.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2} + 1} x^{2}$

ステップ 1.17.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{2}$

ステップ 1.17.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{2}$

ステップ 1.17.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} x^{2}$

ステップ 1.18

$2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ と $y^{\frac{1}{2}} x^{2}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.18.1

$y^{\frac{1}{2}}$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.18.2

$2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ と $x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.19.1

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{\frac{1}{2}} x^{2} + 2$

ステップ 1.19.2

$3 y^{\frac{1}{2}} x^{2} + 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$

ステップ 2

$N (x, y) = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2]$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2]$

ステップ 2.3.2

$x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x \frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2]$

ステップ 2.3.3

総和則では、 $x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 2.3.4

$y^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 2.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (y^{\frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 2.3.6

$2$ を $y^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (2 \cdot y^{\frac{1}{2}} x + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 2.3.7

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (2 y^{\frac{1}{2}} x + 0)$

ステップ 2.3.8

$2 y^{\frac{1}{2}} x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x (2 y^{\frac{1}{2}} x)$

ステップ 2.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{1} x (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{1} x^{1} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{1 + 1} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2.7

式を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{2} (2 y^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2.7.2

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 + 2 \cdot x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.8

$x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ と $2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2 = 3 x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y d x$

ステップ 5

$M (x, y) = (2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}}) y$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $y$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = y \int 2 + 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.2

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = y (\int 2 d x + \int 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} d x)$

ステップ 5.3

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = y (2 x + C + \int 2 x^{2} y^{\frac{1}{2}} d x)$

ステップ 5.4

$2 y^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $2 y^{\frac{1}{2}}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = y (2 x + C + 2 y^{\frac{1}{2}} \int x^{2} d x)$

ステップ 5.5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$f (x, y) = y (2 x + C + 2 y^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

ステップ 5.6

簡約します。

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) + C$

ステップ 5.7

項を並べ替えます。

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.2

総和則では、 $y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$\frac{2}{3}$ と $y^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3} x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.2

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d y} [y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.3

$f (y) = y$ および $g (y) = 2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y \frac{d}{d y} [2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}] + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.4

総和則では、 $2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}]$ です。

$y (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}]) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.5

$2 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2 x$ の微分係数は $0$ です。

$y (0 + \frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}]) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.6

$\frac{2 x^{3}}{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ の微分係数は $\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ です。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.7

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.9

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.10

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.11

公分母の分子をまとめます。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.12.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.12.2

$1$ から $2$ を引きます。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.13

分数の前に負数を移動させます。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.14

$\frac{1}{2}$ と $y^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{3} \cdot \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.15

$\frac{2 x^{3}}{3}$ に $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$y (0 + \frac{2 x^{3} y^{- \frac{1}{2}}}{3 \cdot 2}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.16

$3$ に $2$ をかけます。

$y (0 + \frac{2 x^{3} y^{- \frac{1}{2}}}{6}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{6 y^{\frac{1}{2}}}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.18

$2$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$y (0 + \frac{2 (x^{3})}{6 y^{\frac{1}{2}}}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.19

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.19.1

$2$ を $6 y^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$y (0 + \frac{2 (x^{3})}{2 (3 y^{\frac{1}{2}})}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.19.2

共通因数を約分します。

$y (0 + \frac{2 x^{3}}{2 (3 y^{\frac{1}{2}})}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.19.3

式を書き換えます。

$y (0 + \frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}}) + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.20

$0$ と $\frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}}$ をたし算します。

$y \frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.21

$y$ と $\frac{x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{y x^{3}}{3 y^{\frac{1}{2}}} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.22

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $y^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{y x^{3} y^{- \frac{1}{2}}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.23

指数を足して $y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.23.1

$y^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.23.2

$y^{- \frac{1}{2}}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.23.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y^{1} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.23.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y^{- \frac{1}{2} + 1} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.23.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.23.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.23.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.24

$2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + 2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.25

公分母の分子をまとめます。

$2 x + \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{3} + 2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.26

$y^{\frac{1}{2}} x^{3}$ と $2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}$ をたし算します。

$2 x + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.27

共通因数を約分します。

$2 x + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.3.28

$y^{\frac{1}{2}} x^{3}$ を $1$ で割ります。

$2 x + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$2 x + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + \frac{d g}{d y} = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + 2 x = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 8.5.2

$\frac{d g}{d y} + y^{\frac{1}{2}} x^{3} + 2 x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x = (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - (x^{2} y^{\frac{1}{2}} + 2) x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x + (- (x^{2} y^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 2) x = 0$

ステップ 9.1.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x + (- x^{2} y^{\frac{1}{2}} - 2) x = 0$

ステップ 9.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{2} y^{\frac{1}{2}} x - 2 x = 0$

ステップ 9.1.1.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - (x \cdot x^{2}) y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

ステップ 9.1.1.4.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - (x^{1} x^{2}) y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

ステップ 9.1.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{1 + 2} y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

ステップ 9.1.1.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{3} y^{\frac{1}{2}} - 2 x = 0$

ステップ 9.1.2

$\frac{d g}{d y} + x^{3} y^{\frac{1}{2}} + 2 x - x^{3} y^{\frac{1}{2}} - 2 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ から $x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + 2 x + 0 - 2 x = 0$

ステップ 9.1.2.2

$\frac{d g}{d y} + 2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + 2 x - 2 x = 0$

ステップ 9.1.2.3

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

ステップ 9.1.2.4

$\frac{d g}{d y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 0$

ステップ 10

$0$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 0 d y$

ステップ 10.3

$0$ の $y$ に関する積分は $0$ です。

$g (y) = 0 + C$

ステップ 10.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (y) = C$

ステップ 11

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + C$

ステップ 12

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2}{3} y^{\frac{1}{2}} x^{3}) + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

$\frac{2}{3}$ と $y^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3} x^{3}) + C$

ステップ 12.1.1.2

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = y (2 x + \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}) + C$

ステップ 12.1.2

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = y (2 x) + y \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

ステップ 12.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (x, y) = 2 y x + y \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

ステップ 12.1.4

$y \frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.1

$y$ と $\frac{2 y^{\frac{1}{2}} x^{3}}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = 2 y x + \frac{y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{3})}{3} + C$

ステップ 12.1.4.2

$y$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 (y^{1} y^{\frac{1}{2}}) x^{3}}{3} + C$

ステップ 12.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{1 + \frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

ステップ 12.1.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{3}}{3} + C$

ステップ 12.1.4.5

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{2 + 1}{2}} x^{3}}{3} + C$

ステップ 12.1.4.6

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{3}{2}} x^{3}}{3} + C$

ステップ 12.2

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 y^{\frac{3}{2}} x^{3}}{3} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = 2 y x + \frac{2 x^{3} y^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

微分積分 例

微分積分例