微分積分例

$y' \ln (| y |) = e^{x}$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$

ステップ 2

変数を分けます。

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ステップ 2.1

$\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ の各項を $\ln (| y |)$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1.1

$\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ の各項を $\ln (| y |)$ で割ります。

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

ステップ 2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$\ln (| y |)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

ステップ 2.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

ステップ 2.2

両辺に $\ln (| y |)$ を掛けます。

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

ステップ 2.3

$\ln (| y |)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

共通因数を約分します。

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

ステップ 2.3.2

式を書き換えます。

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = e^{x}$

ステップ 2.4

方程式を書き換えます。

$\ln (| y |) d y = e^{x} d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int \ln (| y |) d y = \int e^{x} d x$

ステップ 3.2

左辺を積分します。

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ステップ 3.2.1

$u = \ln (| y |)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (| y |) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int e^{x} d x$

ステップ 3.2.2

簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$y$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

ステップ 3.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

ステップ 3.2.2.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| y |) y - \int d y = \int e^{x} d x$

ステップ 3.2.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| y |) y - (y + C_{1}) = \int e^{x} d x$

ステップ 3.2.4

簡約します。

$\ln (| y |) y - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

ステップ 3.2.5

項を並べ替えます。

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

ステップ 3.3

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y \ln (| y |) - y = e^{x} + C$

微分積分 例

微分積分例