微分積分例

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} + 8)}^{2}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = {(e^{x} + 8)}^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int {(e^{x} + 8)}^{2} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int {(e^{x} + 8)}^{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

${(e^{x} + 8)}^{2}$ を $(e^{x} + 8) (e^{x} + 8)$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \int (e^{x} + 8) (e^{x} + 8) d x$

ステップ 2.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(e^{x} + 8) (e^{x} + 8)$ を展開します。

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ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} + 8) + 8 (e^{x} + 8) d x$

ステップ 2.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 8 + 8 (e^{x} + 8) d x$

ステップ 2.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 8 + 8 e^{x} + 8 \cdot 8 d x$

ステップ 2.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1.1

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} \cdot 8 + 8 e^{x} + 8 \cdot 8 d x$

ステップ 2.3.1.3.1.1.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} \cdot 8 + 8 e^{x} + 8 \cdot 8 d x$

ステップ 2.3.1.3.1.2

$8$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 8 \cdot e^{x} + 8 e^{x} + 8 \cdot 8 d x$

ステップ 2.3.1.3.1.3

$8$ に $8$ をかけます。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 8 e^{x} + 8 e^{x} + 64 d x$

ステップ 2.3.1.3.2

$8 e^{x}$ と $8 e^{x}$ をたし算します。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 16 e^{x} + 64 d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int 16 e^{x} d x + \int 64 d x$

ステップ 2.3.3

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.3.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.3.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.3.3.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.3.3.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.3.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 16 e^{x} d x + \int 64 d x$

ステップ 2.3.4

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 16 e^{x} d x + \int 64 d x$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 16 e^{x} d x + \int 64 d x$

ステップ 2.3.6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int 16 e^{x} d x + \int 64 d x$

ステップ 2.3.7

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $16$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 16 \int e^{x} d x + \int 64 d x$

ステップ 2.3.8

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 16 (e^{x} + C_{3}) + \int 64 d x$

ステップ 2.3.9

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 16 (e^{x} + C_{3}) + 64 x + C_{4}$

ステップ 2.3.10

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + 16 e^{x} + 64 x + C_{5}$

ステップ 2.3.11

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 16 e^{x} + 64 x + C_{5}$

ステップ 2.3.12

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 64 x + 16 e^{x} + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} + 64 x + 16 e^{x} + K$

微分積分 例

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