微分積分例

$(\frac{x}{y}) d y + (1 + \ln (y)) d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(1 + \ln (y)) d x$ を引きます。

$\frac{x}{y} d y = - (1 + \ln (y)) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ を掛けます。

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + \ln (y)} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{1 + \ln (y)}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$\frac{1}{(1 + \ln (y)) y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

ステップ 3.3

$\frac{1}{(1 + \ln (y)) y}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

ステップ 3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

ステップ 3.5

$1 + \ln (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$- \frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

ステップ 3.5.2

$1 + \ln (y)$ を $x (1 + \ln (y))$ で因数分解します。

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

ステップ 3.5.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

ステップ 3.5.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x} d x$

ステップ 3.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$u_{1} = \ln (y)$ とします。次に $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ すると、 $y d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.2.1.1

$u_{1} = \ln (y)$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

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ステップ 4.2.1.1.1

$\ln (y)$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

ステップ 4.2.1.1.2

$y$ に関する $\ln (y)$ の微分係数は $\frac{1}{y}$ です。

$\frac{1}{y}$

ステップ 4.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.2

$u_{2} = 1 + u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = d u_{1}$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.2.2.1

$u_{2} = 1 + u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 4.2.2.1.1

$1 + u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

ステップ 4.2.2.1.2

総和則では、 $1 + u_{1}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 4.2.2.1.3

$1$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 4.2.2.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 4.2.2.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.4

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 4.2.4.1

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + u_{1}$ で置き換えます。

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.4.2

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln (y)$ で置き換えます。

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 4.3.3

簡約します。

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| 1 + \ln (y) |) = - \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| 1 + \ln (y) | | x |) = C$

ステップ 5.3

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| (1 + \ln (y)) x |) = C$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$\ln (| 1 x + \ln (y) x |) = C$

ステップ 5.5

式を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (| x + \ln (y) x |) = C$

ステップ 5.5.2

$\ln (| x + \ln (y) x |)$ の因数を並べ替えます。

$\ln (| x + x \ln (y) |) = C$

ステップ 5.6

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| x + x \ln (y) |)} = e^{C}$

ステップ 5.7

対数の定義を利用して $\ln (| x + x \ln (y) |) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = | x + x \ln (y) |$

ステップ 5.8

$y$ について解きます。

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ステップ 5.8.1

方程式を $| x + x \ln (y) | = e^{C}$ として書き換えます。

$| x + x \ln (y) | = e^{C}$

ステップ 5.8.2

$y$ について解きます。

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ステップ 5.8.2.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x + x \ln (y) = \pm e^{C}$

ステップ 5.8.2.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$x \ln (y) = \pm e^{C} - x$

ステップ 5.8.2.3

$x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.8.2.3.1

$x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

ステップ 5.8.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.8.2.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.8.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

ステップ 5.8.2.3.2.1.2

$\ln (y)$ を $1$ で割ります。

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

ステップ 5.8.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.8.2.3.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.2.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

ステップ 5.8.2.3.3.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

ステップ 5.8.2.4

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (y)} = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

ステップ 5.8.2.5

対数の定義を利用して $\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1} = y$

ステップ 5.8.2.6

方程式を $y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ として書き換えます。

$y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = e^{\frac{C}{x} - 1}$

微分積分 例

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