微分積分例

$\frac{d y}{d x}$ for $y = π^{3}$

ステップ 1

問題を数式で書きます。

$\frac{d y}{d x} \cdot y = π^{3}$

ステップ 2

変数を分けます。

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ステップ 2.1

$\frac{d y}{d x} \cdot y = π^{3}$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1.1

$\frac{d y}{d x} \cdot y = π^{3}$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{π^{3}}{y}$

ステップ 2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{π^{3}}{y}$

ステップ 2.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{π^{3}}{y}$

ステップ 2.2

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{π^{3}}{y}$

ステップ 2.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{π^{3}}{y}$

ステップ 2.3.2

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = π^{3}$

ステップ 2.4

方程式を書き換えます。

$y d y = π^{3} d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int π^{3} d x$

ステップ 3.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int π^{3} d x$

ステップ 3.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = π^{3} x + C_{2}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = π^{3} x + K$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (π^{3} x + K)$

ステップ 4.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (π^{3} x + K)$

ステップ 4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (π^{3} x + K)$

ステップ 4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (π^{3} x + K)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 π^{3} x + 2 K$

ステップ 4.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{2 π^{3} x + 2 K}$

ステップ 4.4

$2$ を $2 π^{3} x + 2 K$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.1

$2$ を $2 π^{3} x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (π^{3} x) + 2 K}$

ステップ 4.4.2

$2$ を $2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (π^{3} x) + 2 K}$

ステップ 4.4.3

$2$ を $2 (π^{3} x) + 2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (π^{3} x + K)}$

ステップ 4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{2 (π^{3} x + K)}$

ステップ 4.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{2 (π^{3} x + K)}$

ステップ 4.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{2 (π^{3} x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (π^{3} x + K)}$

$y = \sqrt{2 (π^{3} x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (π^{3} x + K)}$

$y = \sqrt{2 (π^{3} x + K)}$

$y = - \sqrt{2 (π^{3} x + K)}$

微分積分 例

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