微分積分例

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x^{2} \sin (2 x)$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ を $- \frac{y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x^{2} \sin (2 x)$

ステップ 1.2

$y$ と $- \frac{1}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x^{2} \sin (2 x)$

ステップ 2

$P (x) = - \frac{1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2

$- \frac{1}{x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 1}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

ステップ 3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

ステップ 3.2.3

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

ステップ 3.2.4

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$\frac{y}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

ステップ 3.2.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

ステップ 3.2.4.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

ステップ 3.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

ステップ 3.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

ステップ 3.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$x$ を $x^{2} \sin (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \sin (2 x)))$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \sin (2 x)))$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x \sin (2 x)$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = x \sin (2 x)$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int x \sin (2 x) d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x} y = \int x \sin (2 x) d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$u = x$ と $d v = \sin (2 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{x} y = x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

ステップ 7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\cos (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x} y = x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

ステップ 7.2.2

$x$ と $\frac{\cos (2 x)}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

ステップ 7.3

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 7.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

ステップ 7.4.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

ステップ 7.5

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.5.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 7.6

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

ステップ 7.7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

ステップ 7.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

ステップ 7.8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

ステップ 7.9

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

ステップ 7.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.10.1

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ を $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

ステップ 7.10.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.10.2.1

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

ステップ 7.10.2.2

$\cos (2 x)$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

ステップ 7.11

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 7.12

$\frac{\cos (2 x) x}{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$\frac{1}{x} \cdot y = - \frac{1}{2} \cdot (x (1 - 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x (1 - 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot 1 + x (- 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

ステップ 8.3.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x + x (- 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

ステップ 8.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

ステップ 8.3.1.4

分配則を当てはめます。

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

ステップ 8.3.1.5

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

ステップ 8.3.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.6.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

ステップ 8.3.1.6.2

$2$ を $- 2 x \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- x \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

ステップ 8.3.1.6.3

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- x \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

ステップ 8.3.1.6.4

式を書き換えます。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} - 1 (- x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

ステップ 8.3.1.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + 1 (x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

ステップ 8.3.1.8

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

ステップ 8.3.1.9

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{4} \cdot (2 \sin (x) \cos (x)) + C$

ステップ 8.3.1.10

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.10.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 \sin (x) \cos (x)) + C$

ステップ 8.3.1.10.2

$2$ を $2 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 (\sin (x) \cos (x))) + C$

ステップ 8.3.1.10.3

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 (\sin (x) \cos (x))) + C$

ステップ 8.3.1.10.4

式を書き換えます。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (x)) + C$

ステップ 8.3.1.11

$\sin (x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{2} \cdot \cos (x) + C$

ステップ 8.3.1.12

$\frac{\sin (x)}{2}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C$

ステップ 8.4

$y$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

ステップ 8.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

ステップ 8.4.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

ステップ 8.4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.2.1

$(- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{x}{2} x + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

ステップ 8.4.2.2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.2.1.2.1

$- \frac{x}{2} x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.2.1.2.1.1

$x$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot x}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

ステップ 8.4.2.2.1.2.1.2

$x$ を $1$ 乗します。

$y = - \frac{x^{1} x}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

ステップ 8.4.2.2.1.2.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$y = - \frac{x^{1} x^{1}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

ステップ 8.4.2.2.1.2.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = - \frac{x^{1 + 1}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

ステップ 8.4.2.2.1.2.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

ステップ 8.4.2.2.1.2.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.2.1.2.2.1

$x$ を移動させます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x \cdot x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

ステップ 8.4.2.2.1.2.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

ステップ 8.4.2.2.1.2.3

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x) x}{2} + C x$

ステップ 8.4.2.2.1.3

$- \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x) x}{2} + C x$ の因数を並べ替えます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2} + C x$

ステップ 8.4.2.2.1.4

$\frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$ を移動させます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + C x + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$

ステップ 8.4.2.2.1.5

$x^{2} \sin^{2} (x)$ を移動させます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + C x + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$

微分積分 例

微分積分例