微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 0$ ; dengan $y (0) = 1$

ステップ 1

$P (x) = 2 x$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 x d x}$

ステップ 1.2

$2 x$ を積分します。

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ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int x d x}$

ステップ 1.2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2

簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$e^{1 x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{x^{2} + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{x^{2}}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{x^{2}}$ を掛けます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.3

$e^{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$

ステップ 2.4

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$ の因数を並べ替えます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 0$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 0$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 0 d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{x^{2}} y = \int 0 d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$e^{x^{2}} y = 0 + C$

ステップ 6.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$e^{x^{2}} y = C$

ステップ 7

$e^{x^{2}} y = C$ の各項を $e^{x^{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{x^{2}} y = C$ の各項を $e^{x^{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{x^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 8

初期条件を利用し、 $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ の $0$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$1 = \frac{C}{e^{0^{2}}}$

ステップ 9

$C$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式を $\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ として書き換えます。

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

ステップ 9.2

方程式の両辺に $e^{0^{2}}$ を掛けます。

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

ステップ 9.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 9.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 9.3.1.1

$e^{0^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

ステップ 9.3.1.1.2

式を書き換えます。

$C = e^{0^{2}} \cdot 1$

ステップ 9.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 9.3.2.1

$e^{0^{2}} \cdot 1$ を簡約します。

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ステップ 9.3.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$C = e^{0} \cdot 1$

ステップ 9.3.2.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$C = 1 \cdot 1$

ステップ 9.3.2.1.3

$1$ に $1$ をかけます。

$C = 1$

ステップ 10

$1$ を $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$1$ を $C$ に代入します。

$y = \frac{1}{e^{x^{2}}}$

微分積分 例

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