微分積分例

$\frac{d y}{d x} = i y$ , $y (0) = i$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (i y)$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = i \frac{1}{y} y$

ステップ 1.2.2

$i$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{i}{y} y$

ステップ 1.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{i}{y} y$

ステップ 1.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = i$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = i d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int i d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int i d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = i x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = i x + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{i x + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = i x + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{i x + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{i x + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{i x + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{i x + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{i x + C}$ を $e^{i x} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{i x} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{i x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{i x}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{i x}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = C e^{i x}$ の $0$ を $x$ に、 $i$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$i = C e^{i \cdot 0}$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $C e^{i \cdot 0} = i$ として書き換えます。

$C e^{i \cdot 0} = i$

ステップ 6.2

$C e^{i \cdot 0}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$i$ に $0$ をかけます。

$C e^{0} = i$

ステップ 6.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$C \cdot 1 = i$

ステップ 6.2.3

$C$ に $1$ をかけます。

$C = i$

ステップ 7

$i$ を $y = C e^{i x}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$i$ を $C$ に代入します。

$y = i e^{i x}$

微分積分 例

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