微分積分例

$(21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y) d x + (28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y]$

ステップ 1.2

総和則では、 $21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$21 x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $21 x^{2} y^{4}$ の微分係数は $21 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 21 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

ステップ 1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 21 x^{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

ステップ 1.3.3

$4$ に $21$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$- 8 x^{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 8 x^{3} y$ の微分係数は $- 8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3} \cdot 1$

ステップ 1.4.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3}$

ステップ 1.5

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

ステップ 2

$N (x, y) = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$28 y^{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $28 x^{3} y^{3}$ の微分係数は $28 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 28 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 28 y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

ステップ 2.3.3

$3$ に $28$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{4}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.4.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 2 (4 x^{3})$

ステップ 2.4.3

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 8 x^{3}$

ステップ 2.5

項を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y d x$

ステップ 5

$M (x, y) = 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int 21 x^{2} y^{4} d x + \int - 8 x^{3} y d x$

ステップ 5.2

$21 y^{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $21 y^{4}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 21 y^{4} \int x^{2} d x + \int - 8 x^{3} y d x$

ステップ 5.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 8 x^{3} y d x$

ステップ 5.4

$- 8 y$ は $x$ に対して定数なので、 $- 8 y$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 y \int x^{3} d x$

ステップ 5.5

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

ステップ 5.6

簡約します。

$f (x, y) = 21 \cdot \frac{1}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

ステップ 5.7

簡約します。

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ステップ 5.7.1

$21$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{21}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

ステップ 5.7.2

$21$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.1

$3$ を $21$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

ステップ 5.7.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3 (1)} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

ステップ 5.7.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

ステップ 5.7.2.2.3

式を書き換えます。

$f (x, y) = \frac{7}{1} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

ステップ 5.7.2.2.4

$7$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

ステップ 5.7.3

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 8 y \frac{x^{4}}{4} + C$

ステップ 5.7.4

$- 8$ と $\frac{x^{4}}{4}$ をまとめます。

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y \frac{- 8 x^{4}}{4} + C$

ステップ 5.7.5

$y$ と $\frac{- 8 x^{4}}{4}$ をまとめます。

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{y (- 8 x^{4})}{4} + C$

ステップ 5.7.6

$- 8$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.6.1

$4$ を $y (- 8 x^{4})$ で因数分解します。

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4} + C$

ステップ 5.7.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.6.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4 (1)} + C$

ステップ 5.7.6.2.2

共通因数を約分します。

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4 \cdot 1} + C$

ステップ 5.7.6.2.3

式を書き換えます。

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{y (- 2 x^{4})}{1} + C$

ステップ 5.7.6.2.4

$y (- 2 x^{4})$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

ステップ 8.2

総和則では、 $7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$7 x^{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $7 y^{4} x^{3}$ の微分係数は $7 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ です。

$7 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

ステップ 8.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 x^{3} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

ステップ 8.3.3

$4$ に $7$ をかけます。

$28 x^{3} y^{3} + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

ステップ 8.4

$\frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})]$ の値を求めます。

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ステップ 8.4.1

$- 2 x^{4}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y (- 2 x^{4})$ の微分係数は $- 2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

ステップ 8.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

ステップ 8.4.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

ステップ 8.5

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + \frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

ステップ 8.6

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{4} + 28 x^{3} y^{3} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺に $2 x^{4}$ を足します。

$\frac{d g}{d y} + 28 x^{3} y^{3} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4}$

ステップ 9.1.2

方程式の両辺から $28 x^{3} y^{3}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4} - 28 x^{3} y^{3}$

ステップ 9.1.3

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4} - 28 x^{3} y^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.3.1

$- 2 x^{4}$ と $2 x^{4}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} + 0 - 28 x^{3} y^{3}$

ステップ 9.1.3.2

$28 x^{3} y^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 28 x^{3} y^{3}$

ステップ 9.1.3.3

$28 x^{3} y^{3}$ から $28 x^{3} y^{3}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = 0$

ステップ 10

$0$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 0 d y$

ステップ 10.3

$0$ の $y$ に関する積分は $0$ です。

$g (y) = 0 + C$

ステップ 10.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (y) = C$

ステップ 11

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + C$

ステップ 12

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 2 y x^{4} + C$

微分積分 例

微分積分例