微分積分例

$- 3 (y d) x + 2 x d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $3 y d x$ を足します。

$2 x d y = 3 y d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x y}$ を掛けます。

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

ステップ 3.2

$2$ と $\frac{1}{x y}$ をまとめます。

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

ステップ 3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

ステップ 3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2}{y} d y = 3 \frac{1}{x y} y d x$

ステップ 3.5

$3$ と $\frac{1}{x y}$ をまとめます。

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{x y} y d x$

ステップ 3.6

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{y x} y d x$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{y x} y d x$

ステップ 3.6.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{3}{x} d x$

ステップ 4.2.3

簡約します。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 4.3.3

簡約します。

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$2 \ln (| y |) = 3 \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$2 \ln (| y |) - 3 \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2 \ln (| y |) - 3 \ln (| x |)$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$\ln ({| y |}^{2}) - 3 \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln (y^{2}) - 3 \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2.1.1.3

対数の中の $3$ を移動させて $- 3 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln (y^{2}) - \ln ({| x |}^{3}) = C$

ステップ 5.2.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}) = C$

ステップ 5.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}})} = e^{C}$

ステップ 5.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}$

ステップ 5.5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.5.1

方程式を $\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} = e^{C}$

ステップ 5.5.2

両辺に ${| x |}^{3}$ を掛けます。

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

ステップ 5.5.3

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

${| x |}^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

ステップ 5.5.3.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} = e^{C} {| x |}^{3}$

ステップ 5.5.4

$y$ について解きます。

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ステップ 5.5.4.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{e^{C} {| x |}^{3}}$

ステップ 5.5.4.2

$\pm \sqrt{e^{C} {| x |}^{3}}$ を簡約します。

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ステップ 5.5.4.2.1

$e^{C} {| x |}^{3}$ を ${| x |}^{2} (e^{C} | x |)$ に書き換えます。

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ステップ 5.5.4.2.1.1

${| x |}^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{e^{C} ({| x |}^{2} | x |)}$

ステップ 5.5.4.2.1.2

$e^{C}$ と ${| x |}^{2}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{| x |}^{2} e^{C} | x |}$

ステップ 5.5.4.2.1.3

括弧を付けます。

$y = \pm \sqrt{{| x |}^{2} (e^{C} | x |)}$

ステップ 5.5.4.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

ステップ 5.5.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.5.4.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。