微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{y^{4}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y^{4}$ を掛けます。

$y^{4} \frac{d y}{d x} = y^{4} \frac{3 x^{2}}{y^{4}}$

ステップ 1.2

$y^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{4} \frac{d y}{d x} = y^{4} \frac{3 x^{2}}{y^{4}}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$y^{4} \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y^{4} d y = 3 x^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{4} d y = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y^{4}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{5} y^{5}$ です。

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ を $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{5} y^{5} = x^{3} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $5$ を掛けます。

$5 (\frac{1}{5} y^{5}) = 5 (x^{3} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$5 (\frac{1}{5} y^{5})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{5}$ と $y^{5}$ をまとめます。

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 (x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 (x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{5} = 5 (x^{3} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$y^{5} = 5 x^{3} + 5 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[5]{5 x^{3} + 5 K}$

ステップ 3.4

$5$ を $5 x^{3} + 5 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$5$ を $5 x^{3}$ で因数分解します。

$y = \sqrt[5]{5 (x^{3}) + 5 K}$

ステップ 3.4.2

$5$ を $5 (x^{3}) + 5 K$ で因数分解します。

$y = \sqrt[5]{5 (x^{3} + K)}$

微分積分 例

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