微分積分例

$\frac{d A}{d t} = 0.04 A$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{A}$ を掛けます。

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{A} (0.04 A)$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = 0.04 \frac{1}{A} A$

ステップ 1.2.2

$0.04$ と $\frac{1}{A}$ をまとめます。

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{0.04}{A} A$

ステップ 1.2.3

$0.04$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{0.04}{A} A$

ステップ 1.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{A} \cdot \frac{A}{25}$

ステップ 1.2.4

$A$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{A} \cdot \frac{A}{25}$

ステップ 1.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{A} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{25}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{A} d A = \frac{1}{25} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{A} d A = \int \frac{1}{25} d t$

ステップ 2.2

$\frac{1}{A}$ の $A$ に関する積分は $\ln (| A |)$ です。

$\ln (| A |) + C_{1} = \int \frac{1}{25} d t$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| A |) + C_{1} = \frac{1}{25} t + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| A |) = \frac{1}{25} t + C$

ステップ 3

$A$ について解きます。

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ステップ 3.1

$A$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| A |)} = e^{\frac{1}{25} t + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| A |) = \frac{1}{25} t + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{1}{25} t + C} = | A |$

ステップ 3.3

$A$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| A | = e^{\frac{1}{25} t + C}$ として書き換えます。

$| A | = e^{\frac{1}{25} t + C}$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{25}$ と $t$ をまとめます。

$| A | = e^{\frac{t}{25} + C}$

ステップ 3.3.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$A = \pm e^{\frac{t}{25} + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{\frac{t}{25} + C}$ を $e^{\frac{t}{25}} e^{C}$ に書き換えます。

$A = \pm e^{\frac{t}{25}} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{\frac{t}{25}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$A = \pm e^{C} e^{\frac{t}{25}}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$A = C e^{\frac{t}{25}}$

微分積分 例

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