微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + y}{x + x y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$y$ を $x y + y$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y}{x + x y}$

ステップ 1.1.2

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y^{1}}{x + x y}$

ステップ 1.1.3

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y \cdot 1}{x + x y}$

ステップ 1.1.4

$y$ を $y x + y \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x + x y}$

ステップ 1.2

$x$ を $x + x y$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x^{1} + x y}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x y}$

ステップ 1.2.3

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x (y)}$

ステップ 1.2.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (y)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot (1 + y)}$

ステップ 1.2.5

$x$ に $1 + y$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x (1 + y)}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y}$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{1 + y}{y}$ を掛けます。

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} (\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\frac{x + 1}{x}$ に $\frac{y}{1 + y}$ をかけます。

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x (1 + y)}$

ステップ 1.5.2

$1 + y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1

$1 + y$ を $x (1 + y)$ で因数分解します。

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

ステップ 1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x}$

ステップ 1.5.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.1

$y$ を $(x + 1) y$ で因数分解します。

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

ステップ 1.5.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

ステップ 1.5.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{1 + y}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1 + y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$\int \frac{1}{y} + \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.3.2

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{y} d y + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.5

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| y |) + C_{1} + y + C_{2} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$\ln (| y |) + y + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 2.2.7

項を並べ替えます。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

分数を複数の分数に分割します。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1

共通因数を約分します。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3.2

式を書き換えます。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

ステップ 2.3.6

簡約します。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + \ln (| x |) + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y + \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例