微分積分例

$\frac{d y}{d t} - 42 t^{6} e^{- y} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $42 t^{6} e^{- y}$ を足します。

$\frac{d y}{d t} = 42 t^{6} e^{- y}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{e^{- y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (42 t^{6} e^{- y})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = 42 \frac{1}{e^{- y}} (t^{6} e^{- y})$

ステップ 1.3.2

$42$ と $\frac{1}{e^{- y}}$ をまとめます。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{42}{e^{- y}} (t^{6} e^{- y})$

ステップ 1.3.3

$e^{- y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.1

$e^{- y}$ を $t^{6} e^{- y}$ で因数分解します。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{42}{e^{- y}} (e^{- y} t^{6})$

ステップ 1.3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{42}{e^{- y}} (e^{- y} t^{6})$

ステップ 1.3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = 42 t^{6}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- y}} d y = 42 t^{6} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 42 t^{6} d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$e^{- y}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 42 t^{6} d t$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1.2.1

${(e^{- y})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 42 t^{6} d t$

ステップ 2.2.1.2.1.2

$- y \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 42 t^{6} d t$

ステップ 2.2.1.2.1.2.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\int 1 e^{y} d y = \int 42 t^{6} d t$

ステップ 2.2.1.2.2

$e^{y}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{y} d y = \int 42 t^{6} d t$

ステップ 2.2.2

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$e^{y} + C_{1} = \int 42 t^{6} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$42$ は $t$ に対して定数なので、 $42$ を積分の外に移動させます。

$e^{y} + C_{1} = 42 \int t^{6} d t$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $t^{6}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{7} t^{7}$ です。

$e^{y} + C_{1} = 42 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$42 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2})$ を $42 (\frac{1}{7}) t^{7} + C_{2}$ に書き換えます。

$e^{y} + C_{1} = 42 (\frac{1}{7}) t^{7} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$42$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$e^{y} + C_{1} = \frac{42}{7} t^{7} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$42$ と $7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

$7$ を $42$ で因数分解します。

$e^{y} + C_{1} = \frac{7 \cdot 6}{7} t^{7} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.2.1

$7$ を $7$ で因数分解します。

$e^{y} + C_{1} = \frac{7 \cdot 6}{7 (1)} t^{7} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{y} + C_{1} = \frac{7 \cdot 6}{7 \cdot 1} t^{7} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{y} + C_{1} = \frac{6}{1} t^{7} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.4

$6$ を $1$ で割ります。

$e^{y} + C_{1} = 6 t^{7} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$e^{y} = 6 t^{7} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (6 t^{7} + K)$

ステップ 3.2

左辺を展開します。

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ステップ 3.2.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (6 t^{7} + K)$

ステップ 3.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (6 t^{7} + K)$

ステップ 3.2.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (6 t^{7} + K)$

微分積分 例

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