微分積分例

$x^{2} + x y + y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = 0$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{x}{y}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d x}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{d x}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$x y + y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺から $x y$ を引きます。

$y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y$

ステップ 1.1.1.3

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$

ステップ 1.1.2

$- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$ の各項を $- y^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$ の各項を $- y^{2}$ で割ります。

$\frac{- y^{2} \frac{d x}{d y}}{- y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

ステップ 1.1.2.2.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

ステップ 1.1.2.2.2.2

$\frac{d x}{d y}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x y}{y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$y$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.3.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.3.2.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y \cdot y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y \cdot y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.5

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y^{2}}{y^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + 1$

ステップ 1.2

$\frac{x^{2}}{y^{2}}$ を ${(\frac{x}{y})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d x}{d y} = {(\frac{x}{y})}^{2} + \frac{x}{y} + 1$

ステップ 2

$V = \frac{x}{y}$ とします。 $V$ を $\frac{x}{y}$ に代入します。

$\frac{d x}{d y} = V^{2} + V + 1$

ステップ 3

$x$ について $V = \frac{x}{y}$ を解きます。

$x = V y$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $y$ について $x = V y$ の微分係数を求めます。

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

ステップ 5

$y \frac{d V}{d y} + V$ を $\frac{d x}{d y}$ に代入します。

$y \frac{d V}{d y} + V = V^{2} + V + 1$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 6.1

変数を分けます。

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ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d y}$ について解きます。

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ステップ 6.1.1.1

$\frac{d V}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.1.1.1.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + V + 1 - V$

ステップ 6.1.1.1.2

$V^{2} + V + 1 - V$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.1.1.1.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 0 + 1$

ステップ 6.1.1.1.2.2

$V^{2}$ と $0$ をたし算します。

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$

ステップ 6.1.1.2

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1.1.2.1

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

ステップ 6.1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

ステップ 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d y}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

ステップ 6.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{2} + 1}{y}$

ステップ 6.1.3

両辺に $\frac{1}{V^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{y}$

ステップ 6.1.4

$V^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{y}$

ステップ 6.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{y}$

ステップ 6.1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{V^{2} + 1} d V = \frac{1}{y} d y$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

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ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$V^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 6.2.2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 6.2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ の $V$ に関する積分は $\arctan (V) + C_{1}$ です。

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\arctan (V) = \ln (| y |) + C$

ステップ 6.3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $V$ を取り出します。

$V = \tan (\ln (| y |) + C)$

ステップ 7

$\frac{x}{y}$ を $V$ に代入します。

$\frac{x}{y} = \tan (\ln (| y |) + C)$

ステップ 8

$x$ について $\frac{x}{y} = \tan (\ln (| y |) + C)$ を解きます。

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ステップ 8.1

両辺に $y$ を掛けます。

$\frac{x}{y} y = \tan (\ln (| y |) + C) y$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{y} y = \tan (\ln (| y |) + C) y$

ステップ 8.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = \tan (\ln (| y |) + C) y$

ステップ 8.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$\tan (\ln (| y |) + C) y$ の因数を並べ替えます。

$x = y \tan (\ln (| y |) + C)$

微分積分 例

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