微分積分例

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 \sqrt{x}$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $(1 + x^{2}) y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 1.1

$f (x) = 1 + x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 1.3

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

ステップ 1.6

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

ステップ 1.7

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

ステップ 1.8

$1$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

ステップ 1.9

括弧を削除します。

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

ステップ 1.10

$y$ を移動させます。

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = 3 \sqrt{x}$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int 3 \sqrt{x} d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$(1 + x^{2}) y = \int 3 \sqrt{x} d x$

ステップ 5

右辺を積分します。

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ステップ 5.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$(1 + x^{2}) y = 3 \int \sqrt{x} d x$

ステップ 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$(1 + x^{2}) y = 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 5.3

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 5.4

答えを簡約します。

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ステップ 5.4.1

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ を $3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 5.4.2

簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$3$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 5.4.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$(1 + x^{2}) y = \frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 5.4.2.3

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.3.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 5.4.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 5.4.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 5.4.2.3.2.3

式を書き換えます。

$(1 + x^{2}) y = \frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 5.4.2.3.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ の各項を $1 + x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ の各項を $1 + x^{2}$ で割ります。

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$1 + x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} + C}{1 + x^{2}}$

微分積分 例

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