微分積分例

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 3 x^{3} y = 1$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 3 x^{3} y = 1$ の各項を $x^{4}$ で割ります。

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{3 x^{3} y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.2

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{3 x^{3} y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x^{3} y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.3

$x^{3}$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x^{3}$ を $3 x^{3} y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{3} (3 y)}{x^{4}} = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$x^{3}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{3} (3 y)}{x^{3} x} = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{3} (3 y)}{x^{3} x} = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.4

$y$ を $\frac{3 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1.5

$y$ と $\frac{3}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{3}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{3}{x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{3 \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{3})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{3}$

ステップ 3

各項に積分因数 $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $x^{3}$ を掛けます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{3}{x}$ と $y$ をまとめます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.3

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$x^{3}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{1}{x^{3} x}$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{1}{x^{3} x}$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1}{x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = \frac{1}{x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$x^{3} y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$x^{3} y = \ln (| x |) + C$

ステップ 8

$x^{3} y = \ln (| x |) + C$ の各項を $x^{3}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x^{3} y = \ln (| x |) + C$ の各項を $x^{3}$ で割ります。

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\ln (| x |)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\ln (| x |)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (| x |)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

微分積分 例

微分積分例