微分積分例

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x)$

ステップ 1

$P (x) = \frac{1}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{\ln (| x |) + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{\ln (x)}$

ステップ 1.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x$

ステップ 2

各項に積分因数 $x$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $x$ を掛けます。

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x)$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x}$ と $y$ をまとめます。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

ステップ 2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

共通因数を約分します。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

ステップ 2.2.2.2

式を書き換えます。

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x)$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x)$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x) d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$x y = \int x \sin (x) d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$u = x$ と $d v = \sin (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

ステップ 6.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

ステップ 6.3.2

$\int \cos (x) d x$ に $1$ をかけます。

$x y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

ステップ 6.4

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$x y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

ステップ 6.5

$x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ を $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ に書き換えます。

$x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

ステップ 7

$x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 7.3.1.2

$- \cos (x)$ を $1$ で割ります。

$y = - \cos (x) + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

微分積分 例

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