微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = - 2 x^{3}$

ステップ 1

$P (x) = 2 x$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 x d x}$

ステップ 1.2

$2 x$ を積分します。

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ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 \int x d x}$

ステップ 1.2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2

簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$e^{1 x^{2} + C}$

ステップ 1.2.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{x^{2} + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{x^{2}}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{x^{2}}$ を掛けます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (- 2 x^{3})$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (- 2 x^{3})$

ステップ 2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = - 2 e^{x^{2}} x^{3}$

ステップ 2.4

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = - 2 e^{x^{2}} x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = - 2 x^{3} e^{x^{2}}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = - 2 x^{3} e^{x^{2}}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int - 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{x^{2}} y = \int - 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$e^{x^{2}} y = - 2 \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

ステップ 6.2

$u = x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.2.1

$u = x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.2.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 6.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 6.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{x^{2}} y = - 2 \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{1}{2}$ と $u$ をまとめます。

$e^{x^{2}} y = - 2 \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

ステップ 6.3.2

$\frac{u}{2}$ と $e^{u}$ をまとめます。

$e^{x^{2}} y = - 2 \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

ステップ 6.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{x^{2}} y = - 2 (\frac{1}{2} \int u e^{u} d u)$

ステップ 6.5

簡約します。

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ステップ 6.5.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$e^{x^{2}} y = \frac{- 2}{2} \int u e^{u} d u$

ステップ 6.5.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int u e^{u} d u$

ステップ 6.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int u e^{u} d u$

ステップ 6.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int u e^{u} d u$

ステップ 6.5.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{x^{2}} y = \frac{- 1}{1} \int u e^{u} d u$

ステップ 6.5.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$e^{x^{2}} y = - \int u e^{u} d u$

ステップ 6.6

$w = u$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

ステップ 6.7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - (e^{u} + C))$

ステップ 6.8

簡約します。

$e^{x^{2}} y = - (u e^{u} - e^{u}) + C$

ステップ 6.9

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$e^{x^{2}} y = - (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

ステップ 6.10

簡約します。

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ステップ 6.10.1

分配則を当てはめます。

$e^{x^{2}} y = - (x^{2} e^{x^{2}}) - - e^{x^{2}} + C$

ステップ 6.10.2

$- - e^{x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 6.10.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + 1 e^{x^{2}} + C$

ステップ 6.10.2.2

$e^{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$

ステップ 7

$e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$ の各項を $e^{x^{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{x^{2}} y = - x^{2} e^{x^{2}} + e^{x^{2}} + C$ の各項を $e^{x^{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{x^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$e^{x^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{- x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 7.3.1.1.2

$- x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y = - x^{2} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 7.3.1.2

$e^{x^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = - x^{2} + \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

ステップ 7.3.1.2.2

式を書き換えます。

$y = - x^{2} + 1 + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

微分積分 例

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