微分積分例

$\frac{d y}{d t} = 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81)$ , $y (\ln (3)) = 0$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 \int e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 81) d t$

ステップ 2.3.2

$u_{2} = e^{4 t} - 81$ とします。次に $d u_{2} = 4 e^{4 t} d t$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{2} = e^{4 t} d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u_{2} = e^{4 t} - 81$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$e^{4 t} - 81$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} - 81]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $e^{4 t} - 81$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- 81]$ です。

$\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- 81]$

ステップ 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d t} [e^{4 t}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.3.1

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 4 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 t$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 81]$

ステップ 2.3.2.1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 81]$

ステップ 2.3.2.1.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 t$ で置き換えます。

$e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 81]$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 t$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 81]$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{4 t} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 81]$

ステップ 2.3.2.1.3.4

$4$ に $1$ をかけます。

$e^{4 t} \cdot 4 + \frac{d}{d t} [- 81]$

ステップ 2.3.2.1.3.5

$4$ を $e^{4 t}$ の左に移動させます。

$4 e^{4 t} + \frac{d}{d t} [- 81]$

ステップ 2.3.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1.4.1

$- 81$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 81$ の微分係数は $0$ です。

$4 e^{4 t} + 0$

ステップ 2.3.2.1.4.2

$4 e^{4 t}$ と $0$ をたし算します。

$4 e^{4 t}$

ステップ 2.3.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 4 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

$\sin (u_{2})$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 4 \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{4}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{4}$ と $4$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 2.3.5.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2

式を書き換えます。

$y + C_{1} = 1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 2.3.5.3

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 2.3.6

$\sin (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $- \cos (u_{2})$ です。

$y + C_{1} = - \cos (u_{2}) + C_{2}$

ステップ 2.3.7

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{4 t} - 81$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - \cos (e^{4 t} - 81) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \cos (e^{4 t} - 81) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = - \cos (e^{4 t} - 81) + K$ の $\ln (3)$ を $t$ に、 $0$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$0 = - \cos (e^{4 \ln (3)} - 81) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- \cos (e^{4 \ln (3)} - 81) + K = 0$ として書き換えます。

$- \cos (e^{4 \ln (3)} - 81) + K = 0$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

対数の中の $4$ を移動させて $4 \ln (3)$ を簡約します。

$- \cos (e^{\ln (3^{4})} - 81) + K = 0$

ステップ 4.2.1.1.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$- \cos (3^{4} - 81) + K = 0$

ステップ 4.2.1.1.3

$3$ を $4$ 乗します。

$- \cos (81 - 81) + K = 0$

ステップ 4.2.1.2

$81$ から $81$ を引きます。

$- \cos (0) + K = 0$

ステップ 4.2.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1 + K = 0$

ステップ 4.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 + K = 0$

ステップ 4.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$K = 1$

ステップ 5

$1$ を $y = - \cos (e^{4 t} - 81) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$1$ を $K$ に代入します。

$y = - \cos (e^{4 t} - 81) + 1$

微分積分 例

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