微分積分例

$x d y - y^{2} d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $y^{2} d x$ を足します。

$x d y = y^{2} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x y^{2}} x d y = \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x (y^{2})} x d y = \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x y^{2}} x d y = \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

ステップ 3.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$y^{2}$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} x} y^{2} d x$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} x} y^{2} d x$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.2.1.1

$y^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.2

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{y} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{y} = \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y, 1, 1$

ステップ 5.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y$

ステップ 5.2

$- \frac{1}{y} = \ln (| x |) + C$ の各項に $y$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.2.1

$- \frac{1}{y} = \ln (| x |) + C$ の各項に $y$ を掛けます。

$- \frac{1}{y} y = \ln (| x |) y + C y$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{y} y = \ln (| x |) y + C y$

ステップ 5.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{y} y = \ln (| x |) y + C y$

ステップ 5.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = \ln (| x |) y + C y$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$\ln (| x |) y + C y$ の因数を並べ替えます。

$- 1 = y \ln (| x |) + C y$

ステップ 5.3

方程式を解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式を $y \ln (| x |) + C y = - 1$ として書き換えます。

$y \ln (| x |) + C y = - 1$

ステップ 5.3.2

$y$ を $y \ln (| x |) + C y$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.2.1

$y$ を $C y$ で因数分解します。

$y \ln (| x |) + y C = - 1$

ステップ 5.3.2.2

$y$ を $y \ln (| x |) + y C$ で因数分解します。

$y (\ln (| x |) + C) = - 1$

ステップ 5.3.3

$y (\ln (| x |) + C) = - 1$ の各項を $\ln (| x |) + C$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$y (\ln (| x |) + C) = - 1$ の各項を $\ln (| x |) + C$ で割ります。

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

ステップ 5.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.1

$\ln (| x |) + C$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

ステップ 5.3.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 1}{\ln (| x |) + C}$

ステップ 5.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1}{\ln (| x |) + C}$

微分積分 例

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