微分積分例

$x \frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (1) = 2$

ステップ 1

方程式の左辺は項 $x y$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y \cdot 1$

ステップ 1.4

$\frac{d y}{d x}$ を $y'$ に代入します。

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

ステップ 1.5

$y$ と $1$ を並べ替えます。

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

ステップ 1.6

$y$ に $1$ をかけます。

$x \frac{d y}{d x} + y$

ステップ 2

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x y] = x$

ステップ 3

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x d x$

ステップ 4

左辺を積分します。

$x y = \int x d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 6

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.1.1

$x$ を $\frac{1}{2} x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.1.2.4

式を書き換えます。

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.1.2.5

$\frac{1}{2} x$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x}$

ステップ 6.3.1.2

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$

ステップ 7

初期条件を利用し、 $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ の $1$ を $x$ に、 $2$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$2 = \frac{1}{2} + \frac{C}{1}$

ステップ 8

$C$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$

ステップ 8.2

$C$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} + C = 2$

ステップ 8.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 8.3.1

方程式の両辺から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$C = 2 - \frac{1}{2}$

ステップ 8.3.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$C = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 8.3.3

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$C = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 8.3.4

公分母の分子をまとめます。

$C = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

ステップ 8.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$C = \frac{4 - 1}{2}$

ステップ 8.3.5.2

$4$ から $1$ を引きます。

$C = \frac{3}{2}$

ステップ 9

$\frac{3}{2}$ を $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{3}{2}$ を $C$ に代入します。

$y = \frac{x}{2} + \frac{\frac{3}{2}}{x}$

ステップ 9.2

各項を簡約します。

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ステップ 9.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 9.2.2

$\frac{3}{2}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2 x}$

微分積分 例

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