微分積分例

$x \frac{d y}{d x} + 3 = 4 x e^{- y}$

ステップ 1

$v = e^{- y}$ とします。 $v$ を $e^{- y}$ に代入します。

$x \frac{d y}{d x} + 3 = 4 x v$

ステップ 2

$e^{- y}$ を微分し、 $\frac{d v}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- y$ とします。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $- y$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d x} = e^{- y} \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{d v}{d x} = e^{- y} (- \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = e^{- y} (- y')$

ステップ 2.4

$e^{- y} (- y')$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} = - e^{- y} y'$

ステップ 3

$v$ を $e^{- y}$ に代入します。

$\frac{d v}{d x} = - v y'$

ステップ 4

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

$- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} + 3 = 4 x v$

ステップ 5

微分方程式をベルヌーイ法に合うように書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} + 3 = 4 x v$ の各項に $- \frac{v}{x}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} + 3 = 4 x v$ の各項に $- \frac{v}{x}$ を掛けます。

$- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} (- \frac{v}{x}) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1.1

$- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- x \frac{d v}{d x}}{v} (- \frac{v}{x}) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

ステップ 5.1.2.1.1.2

$- \frac{v}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- x \frac{d v}{d x}}{v} \cdot \frac{- v}{x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

ステップ 5.1.2.1.1.3

$x$ を $- x \frac{d v}{d x}$ で因数分解します。

$\frac{x (- \frac{d v}{d x})}{v} \cdot \frac{- v}{x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

ステップ 5.1.2.1.1.4

共通因数を約分します。

$\frac{x (- \frac{d v}{d x})}{v} \cdot \frac{- v}{x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

ステップ 5.1.2.1.1.5

式を書き換えます。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

ステップ 5.1.2.1.2

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.2.1

$v$ を $- v$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

ステップ 5.1.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

ステップ 5.1.2.1.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

ステップ 5.1.2.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{d v}{d x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

ステップ 5.1.2.1.4

$\frac{d v}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

ステップ 5.1.2.1.5

$3 (- \frac{v}{x})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - 3 \frac{v}{x} = 4 x v (- \frac{v}{x})$

ステップ 5.1.2.1.5.2

$- 3$ と $\frac{v}{x}$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 3 v}{x} = 4 x v (- \frac{v}{x})$

ステップ 5.1.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 4 x v (- \frac{v}{x})$

ステップ 5.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

$- \frac{v}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 4 x v \frac{- v}{x}$

ステップ 5.1.3.1.2

$x$ を $4 x v$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = x (4 v) \frac{- v}{x}$

ステップ 5.1.3.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = x (4 v) \frac{- v}{x}$

ステップ 5.1.3.1.4

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 4 v (- v)$

ステップ 5.1.3.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 v \cdot v$

ステップ 5.1.3.3

$v$ を $1$ 乗します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 (v^{1} v)$

ステップ 5.1.3.4

$v$ を $1$ 乗します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 (v^{1} v^{1})$

ステップ 5.1.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 v^{1 + 1}$

ステップ 5.1.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 v^{2}$

ステップ 5.2

$v$ を $- \frac{3 v}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{3}{x}) = - 4 v^{2}$

ステップ 5.3

$v$ と $- \frac{3}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v = - 4 v^{2}$

ステップ 6

微分方程式を解くために、 $n$ が $v^{2}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = v^{- 1}$

ステップ 7

$v$ について方程式を解きます。

$y = v^{- 1}$

ステップ 8

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{- 1}$

ステップ 9

$x$ に関する $v^{- 1}$ の微分係数を取ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$v^{- 1}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

ステップ 9.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

ステップ 9.3

$f (x) = 1$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 9.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.4.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.3.1

$v$ に $0$ をかけます。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.4.3.2

$0$ から $\frac{d}{d x} [v]$ を引きます。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.5

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

ステップ 10

元の方程式 $\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v = - 4 v^{2}$ の $- \frac{v'}{v^{2}}$ を $\frac{d v}{d x}$ に、 $v^{- 1}$ を $v$ に代入します。

$- \frac{v'}{v^{2}} - \frac{3}{x} v^{- 1} = - 4 {(v^{- 1})}^{2}$

ステップ 11

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 11.1

微分方程式を $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{3}{x} v^{- 1} = - 4 {(v^{- 1})}^{2}$ の各項に $- v^{2}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{3}{x} v^{- 1} = - 4 {(v^{- 1})}^{2}$ の各項に $- v^{2}$ を掛けます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1.2.1.1

$v^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.1.2.1.1.2

$v^{2}$ を $- v^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.1.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.1.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.1.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.1.2.1.4

指数を足して $v^{- 1}$ に $v^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1.2.1.4.1

$v^{2}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.1.2.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{2 - 1} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.1.2.1.4.3

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{1} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.1.2.1.5

$- \frac{3}{x} v^{1} \cdot - 1$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.1.2.1.6

$v$ と $\frac{3}{x}$ をまとめます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 3}{x} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.1.2.1.7

$3$ を $v$ の左に移動させます。

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 \cdot v}{x} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.1.2.1.8

$- \frac{3 v}{x} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1.2.1.8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + 1 \frac{3 v}{x} = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.1.2.1.8.2

$\frac{3 v}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = - 4 \cdot - 1 {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

ステップ 11.1.1.3.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

ステップ 11.1.1.3.3

${(v^{- 1})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

ステップ 11.1.1.3.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{- 2} v^{2}$

ステップ 11.1.1.3.4

指数を足して $v^{- 2}$ に $v^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1.3.4.1

$v^{2}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 (v^{2} v^{- 2})$

ステップ 11.1.1.3.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{2 - 2}$

ステップ 11.1.1.3.4.3

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{0}$

ステップ 11.1.1.3.5

$4 v^{0}$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4$

ステップ 11.1.2

$v$ を $\frac{3 v}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} + v \frac{3}{x} = 4$

ステップ 11.1.3

$v$ と $\frac{3}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d v}{d x} + \frac{3}{x} v = 4$

ステップ 11.2

$P (x) = \frac{3}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

ステップ 11.2.2

$\frac{3}{x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 11.2.2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 11.2.2.3

簡約します。

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

ステップ 11.2.3

積分定数を削除します。

$e^{3 \ln (x)}$

ステップ 11.2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{3})}$

ステップ 11.2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{3}$

ステップ 11.3

各項に積分因数 $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

各項に $x^{3}$ を掛けます。

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} v) = x^{3} \cdot 4$

ステップ 11.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1

$\frac{3}{x}$ と $v$ をまとめます。

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x^{3} \frac{3 v}{x} = x^{3} \cdot 4$

ステップ 11.3.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 v}{x} = x^{3} \cdot 4$

ステップ 11.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 v}{x} = x^{3} \cdot 4$

ステップ 11.3.2.2.3

式を書き換えます。

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x^{2} (3 v) = x^{3} \cdot 4$

ステップ 11.3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{3} \frac{d v}{d x} + 3 x^{2} v = x^{3} \cdot 4$

ステップ 11.3.3

$4$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$x^{3} \frac{d v}{d x} + 3 x^{2} v = 4 x^{3}$

ステップ 11.4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{3} v] = 4 x^{3}$

ステップ 11.5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} v] d x = \int 4 x^{3} d x$

ステップ 11.6

左辺を積分します。

$x^{3} v = \int 4 x^{3} d x$

ステップ 11.7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$x^{3} v = 4 \int x^{3} d x$

ステップ 11.7.2

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$x^{3} v = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

ステップ 11.7.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.3.1

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ を $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ に書き換えます。

$x^{3} v = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

ステップ 11.7.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.3.2.1

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$x^{3} v = \frac{4}{4} x^{4} + C$

ステップ 11.7.3.2.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.7.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$x^{3} v = \frac{4}{4} x^{4} + C$

ステップ 11.7.3.2.2.2

式を書き換えます。

$x^{3} v = 1 x^{4} + C$

ステップ 11.7.3.2.3

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$x^{3} v = x^{4} + C$

ステップ 11.8

$x^{3} v = x^{4} + C$ の各項を $x^{3}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.1

$x^{3} v = x^{4} + C$ の各項を $x^{3}$ で割ります。

$\frac{x^{3} v}{x^{3}} = \frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 11.8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.2.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} v}{x^{3}} = \frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 11.8.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 11.8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.3.1

$x^{4}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.3.1.1

$x^{3}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$v = \frac{x^{3} x}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 11.8.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.8.3.1.2.1

$1$ を掛けます。

$v = \frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 11.8.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$v = \frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 11.8.3.1.2.3

式を書き換えます。

$v = \frac{x}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 11.8.3.1.2.4

$x$ を $1$ で割ります。

$v = x + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 12

$v^{- 1}$ を $v$ に代入します。

$v^{- 1} = x + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 13

$v$ のすべての発生を $e^{- y}$ で置き換えます。

${(e^{- y})}^{- 1} = x + \frac{C}{x^{3}}$

ステップ 14

$y$ について解きます。

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ステップ 14.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$

ステップ 14.2

左辺を展開します。

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ステップ 14.2.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$

ステップ 14.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$

ステップ 14.2.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$

微分積分 例

微分積分例