微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8$ ; cuando $f (3) = - 6$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

ステップ 2.3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

ステップ 2.3.4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

ステップ 2.3.6

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $- 24$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 \int x d x + \int 8 d x$

ステップ 2.3.7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 8 d x$

ステップ 2.3.8

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

ステップ 2.3.9

簡約します。

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ステップ 2.3.9.1

簡約します。

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ステップ 2.3.9.1.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

ステップ 2.3.9.1.2

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

ステップ 2.3.9.1.3

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

ステップ 2.3.9.2

簡約します。

$y + C_{1} = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ の $3$ を $x$ に、 $- 6$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$- 6 = 3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$ として書き換えます。

$3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

ステップ 4.2

$3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$3$ を $4$ 乗します。

$81 - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

ステップ 4.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$81 - 1 \cdot 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

ステップ 4.2.1.3

$- 1$ に $27$ をかけます。

$81 - 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

ステップ 4.2.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$81 - 27 - 12 \cdot 9 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

ステップ 4.2.1.5

$- 12$ に $9$ をかけます。

$81 - 27 - 108 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

ステップ 4.2.1.6

$8$ に $3$ をかけます。

$81 - 27 - 108 + 24 + K = - 6$

ステップ 4.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$81$ から $27$ を引きます。

$54 - 108 + 24 + K = - 6$

ステップ 4.2.2.2

$54$ から $108$ を引きます。

$- 54 + 24 + K = - 6$

ステップ 4.2.2.3

$- 54$ と $24$ をたし算します。

$- 30 + K = - 6$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $30$ を足します。

$K = - 6 + 30$

ステップ 4.3.2

$- 6$ と $30$ をたし算します。

$K = 24$

ステップ 5

$24$ を $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$24$ を $K$ に代入します。

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + 24$

微分積分 例

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