微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 6 \sqrt{y}$ , $y (1) = 16$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\sqrt{y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (6 \sqrt{y})$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{\sqrt{y}} \sqrt{y}$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{\sqrt{y}}$ に $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) \sqrt{y}$

ステップ 1.2.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$\frac{1}{\sqrt{y}}$ に $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} \sqrt{y}$

ステップ 1.2.3.2

$\sqrt{y}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} \sqrt{y}$

ステップ 1.2.3.3

$\sqrt{y}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} \sqrt{y}$

ステップ 1.2.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} \sqrt{y}$

ステップ 1.2.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} \sqrt{y}$

ステップ 1.2.3.6

${\sqrt{y}}^{2}$ を $y$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{y}$

ステップ 1.2.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{y}$

ステップ 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y}$

ステップ 1.2.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y}$

ステップ 1.2.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} \sqrt{y}$

ステップ 1.2.3.6.5

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$

ステップ 1.2.4

$6$ と $\frac{\sqrt{y}}{y}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$

ステップ 1.2.5

$\frac{6 \sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$\frac{6 \sqrt{y}}{y}$ と $\sqrt{y}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{y} \sqrt{y}}{y}$

ステップ 1.2.5.2

$\sqrt{y}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}{y}$

ステップ 1.2.5.3

$\sqrt{y}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}{y}$

ステップ 1.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {\sqrt{y}}^{1 + 1}}{y}$

ステップ 1.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {\sqrt{y}}^{2}}{y}$

ステップ 1.2.6

${\sqrt{y}}^{2}$ を $y$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y}$

ステップ 1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y}$

ステップ 1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

ステップ 1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

ステップ 1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{1}}{y}$

ステップ 1.2.6.5

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y}{y}$

ステップ 1.2.7

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y}{y}$

ステップ 1.2.7.2

$6$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 6 d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 6 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 6 d x$

ステップ 2.2.1.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 6 d x$

ステップ 2.2.1.3

${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 6 d x$

ステップ 2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 6 d x$

ステップ 2.2.1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 6 d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- \frac{1}{2}}$ の $y$ に関する積分は $2 y^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 6 d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 6 x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{3 x}{1} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.3.1.2.4

$3 x$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{1}{2}} = 3 x + \frac{K}{2}$

ステップ 3.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2

簡約します。

$y = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$ を $(3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$ に書き換えます。

$y = (3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$

ステップ 3.3.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y = 3 x (3 x + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (3 x + \frac{K}{2})$

ステップ 3.3.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$y = 3 x (3 x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x + \frac{K}{2})$

ステップ 3.3.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$y = 3 x (3 x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$y = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.3

$3$ に $3$ をかけます。

$y = 9 x^{2} + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.4

$3 x \frac{K}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.4.1

$3$ と $\frac{K}{2}$ をまとめます。

$y = 9 x^{2} + x \frac{3 K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.4.2

$x$ と $\frac{3 K}{2}$ をまとめます。

$y = 9 x^{2} + \frac{x (3 K)}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.5

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$y = 9 x^{2} + \frac{3 \cdot x K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + 3 \frac{K}{2} x + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.7

$3$ と $\frac{K}{2}$ をまとめます。

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K}{2} x + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.8

$\frac{3 K}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.9

$\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.9.1

$\frac{K}{2}$ に $\frac{K}{2}$ をかけます。

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.9.2

$K$ を $1$ 乗します。

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.9.3

$K$ を $1$ 乗します。

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.9.6

$2$ に $2$ をかけます。

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.3.2

$\frac{3 x K}{2}$ と $\frac{3 K x}{2}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.2.1

$x$ を移動させます。

$y = 9 x^{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.3.2.2

$\frac{3 K x}{2}$ と $\frac{3 K x}{2}$ をたし算します。

$y = 9 x^{2} + 2 \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$y = 9 x^{2} + 2 \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$y = 9 x^{2} + 3 K x + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.4

$9 x^{2} + 3 K x + \frac{K^{2}}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$9 x^{2}$ を移動させます。

$y = 3 K x + \frac{K^{2}}{4} + 9 x^{2}$

ステップ 3.4.2

$3 K x$ と $\frac{K^{2}}{4}$ を並べ替えます。

$y = \frac{K^{2}}{4} + 3 K x + 9 x^{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = K + K x + 9 x^{2}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = K + K x + 9 x^{2}$ の $1$ を $x$ に、 $16$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$16 = K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2}$

ステップ 6

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式を $K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} = 16$ として書き換えます。

$K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} = 16$

ステップ 6.2

$K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$K$ に $1$ をかけます。

$K + K + 9 \cdot 1^{2} = 16$

ステップ 6.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$K + K + 9 \cdot 1 = 16$

ステップ 6.2.1.3

$9$ に $1$ をかけます。

$K + K + 9 = 16$

ステップ 6.2.2

$K$ と $K$ をたし算します。

$2 K + 9 = 16$

ステップ 6.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$2 K = 16 - 9$

ステップ 6.3.2

$16$ から $9$ を引きます。

$2 K = 7$

ステップ 6.4

$2 K = 7$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$2 K = 7$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

ステップ 6.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

ステップ 6.4.2.1.2

$K$ を $1$ で割ります。

$K = \frac{7}{2}$

ステップ 7

$\frac{7}{2}$ を $y = K + K x + 9 x^{2}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{7}{2}$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{7}{2} + K x + 9 x^{2}$

微分積分 例

微分積分例