微分積分例

$\frac{d y}{d t} = t + 2 e^{t - 3}$ ; and , $y (3) = 4$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (t + 2 e^{t - 3}) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int t + 2 e^{t - 3} d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int t + 2 e^{t - 3} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int t d t + \int 2 e^{t - 3} d t$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + \int 2 e^{t - 3} d t$

ステップ 2.3.3

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{t - 3} d t$

ステップ 2.3.4

$u = t - 3$ とします。次に $d u = d t$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.4.1

$u = t - 3$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.3.4.1.1

$t - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

ステップ 2.3.4.1.2

総和則では、 $t - 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

ステップ 2.3.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

ステップ 2.3.4.1.4

$- 3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.5

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 (e^{u} + C_{3})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{u} + C_{4}$

ステップ 2.3.7

$u$ のすべての発生を $t - 3$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$ の $3$ を $t$ に、 $4$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$4 = \frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K = 4$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K = 4$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{0} + K = 4$

ステップ 4.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} \cdot 9 + 2 e^{0} + K = 4$

ステップ 4.2.2.2

$\frac{1}{2}$ と $9$ をまとめます。

$\frac{9}{2} + 2 e^{0} + K = 4$

ステップ 4.2.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{9}{2} + 2 \cdot 1 + K = 4$

ステップ 4.2.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{9}{2} + 2 + K = 4$

ステップ 4.2.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{9}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} + K = 4$

ステップ 4.2.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + K = 4$

ステップ 4.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{9 + 2 \cdot 2}{2} + K = 4$

ステップ 4.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{9 + 4}{2} + K = 4$

ステップ 4.2.6.2

$9$ と $4$ をたし算します。

$\frac{13}{2} + K = 4$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $\frac{13}{2}$ を引きます。

$K = 4 - \frac{13}{2}$

ステップ 4.3.2

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$K = 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{13}{2}$

ステップ 4.3.3

$4$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$K = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{13}{2}$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{4 \cdot 2 - 13}{2}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$4$ に $2$ をかけます。

$K = \frac{8 - 13}{2}$

ステップ 4.3.5.2

$8$ から $13$ を引きます。

$K = \frac{- 5}{2}$

ステップ 4.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$K = - \frac{5}{2}$

ステップ 5

$- \frac{5}{2}$ を $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- \frac{5}{2}$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} - \frac{5}{2}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 3} - \frac{5}{2}$

ステップ 5.3

$2 e^{t - 3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

ステップ 5.4

$2 e^{t - 3}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{t^{2}}{2} + \frac{2 e^{t - 3} \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{t^{2} + 2 e^{t - 3} \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

ステップ 5.6

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{t^{2} + 4 e^{t - 3}}{2} - \frac{5}{2}$

微分積分 例

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