微分積分例

$\frac{d s}{d t} = 5 t + \cos (t)$ , $s (0) = 0$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d s = (5 t + \cos (t)) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d s = \int 5 t + \cos (t) d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$s + C_{1} = \int 5 t + \cos (t) d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$s + C_{1} = \int 5 t d t + \int \cos (t) d t$

ステップ 2.3.2

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = 5 \int t d t + \int \cos (t) d t$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$s + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \cos (t) d t$

ステップ 2.3.4

$\cos (t)$ の $t$ に関する積分は $\sin (t)$ です。

$s + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$s + C_{1} = 5 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$s + C_{1} = \frac{5 t^{2}}{2} + \sin (t) + C_{4}$

ステップ 2.3.5.3

項を並べ替えます。

$s + C_{1} = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ の $0$ を $t$ に、 $0$ を $s$ に代入し $K$ の値を求めます。

$0 = \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = 0$ として書き換えます。

$\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = 0$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{5}{2} \cdot 0 + \sin (0) + K = 0$

ステップ 4.2.1.1.2

$\frac{5}{2}$ に $0$ をかけます。

$0 + \sin (0) + K = 0$

ステップ 4.2.1.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 + 0 + K = 0$

ステップ 4.2.1.2

$0 + 0 + K$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.1.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + K = 0$

ステップ 4.2.1.2.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = 0$

ステップ 5

$0$ を $s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$0$ を $K$ に代入します。

$s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + 0$

ステップ 5.2

$\frac{5}{2} t^{2} + \sin (t)$ と $0$ をたし算します。

$s = \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t)$

ステップ 5.3

$\frac{5}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$s = \frac{5 t^{2}}{2} + \sin (t)$

微分積分 例

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