微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 x y + 4 x^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺から $2 x y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 4 x^{2}$

ステップ 2

$P (x) = - 2 x$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 2 x d x}$

ステップ 2.2

$- 2 x$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 2 \int x d x}$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$e^{- x^{2} + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- x^{2}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{- x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{- x^{2}}$ を掛けます。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (4 x^{2})$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (4 x^{2})$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 4 e^{- x^{2}} x^{2}$

ステップ 3.4

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 4 e^{- x^{2}} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 4 x^{2} e^{- x^{2}}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 4 x^{2} e^{- x^{2}}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 4 x^{2} e^{- x^{2}} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{- x^{2}} y = \int 4 x^{2} e^{- x^{2}} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x^{2}} y = 4 \int x^{2} e^{- x^{2}} d x$

ステップ 7.2

$u_{1} = - x^{2}$ とします。次に $d u_{1} = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.2.1

$u_{1} = - x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.2.1.1

$- x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 7.2.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 7.2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (2 x)$

ステップ 7.2.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x$

ステップ 7.2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- x^{2}} y = 4 \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1}$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- x^{2}} y = 4 \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1}$

ステップ 7.3.2

$\sqrt{- u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} y = 4 \int e^{u_{1}} (- \frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}) d u_{1}$

ステップ 7.3.3

$e^{u_{1}}$ と $\frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} y = 4 \int - \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

ステップ 7.4

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x^{2}} y = 4 (- \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1})$

ステップ 7.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e^{- x^{2}} y = - 4 \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

ステップ 7.6

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x^{2}} y = - 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.7

簡約します。

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ステップ 7.7.1

$\frac{1}{2}$ と $- 4$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} y = \frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

ステップ 7.7.2

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.7.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

ステップ 7.7.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.7.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

ステップ 7.7.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{- x^{2}} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

ステップ 7.7.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{- x^{2}} y = \frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

ステップ 7.7.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$e^{- x^{2}} y = - 2 \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

ステップ 7.8

$u = e^{u_{1}}$ と $d v = \sqrt{- u_{1}}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.9

簡約します。

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ステップ 7.9.1

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.9.2

$e^{u_{1}}$ と $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.9.3

$2$ を ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.9.4

$2$ を $e^{u_{1}}$ の左に移動させます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 \cdot e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.9.5

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.9.6

$e^{u_{1}}$ と $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} d u_{1})$

ステップ 7.9.7

$2$ を ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} d u_{1})$

ステップ 7.9.8

$2$ を $e^{u_{1}}$ の左に移動させます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

ステップ 7.10

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

ステップ 7.11

簡約します。

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ステップ 7.11.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

ステップ 7.11.2

$\int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ に $1$ をかけます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

ステップ 7.12

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7.13

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

ステップ 7.14

簡約します。

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ステップ 7.14.1

$- 2 (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ を $- 2 (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ に書き換えます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

ステップ 7.14.2

簡約します。

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ステップ 7.14.2.1

$e^{u_{1}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

ステップ 7.14.2.2

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

ステップ 7.14.2.3

$2$ を $e^{u_{1}}$ の左に移動させます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{u_{1}})}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

ステップ 7.14.2.4

$2$ を ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

ステップ 7.14.2.5

$\frac{2}{3}$ と ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

ステップ 7.14.2.6

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ と $e^{u_{1}}$ をまとめます。

$e^{- x^{2}} y = - 2 (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

ステップ 7.14.2.7

$- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ と $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ をたし算します。

$e^{- x^{2}} y = - 2 \cdot 0 + C$

ステップ 7.14.2.8

$- 2$ に $0$ をかけます。

$e^{- x^{2}} y = 0 + C$

ステップ 7.14.2.9

$0$ と $C$ をたし算します。

$e^{- x^{2}} y = C$

ステップ 8

$e^{- x^{2}} y = C$ の各項を $e^{- x^{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{- x^{2}} y = C$ の各項を $e^{- x^{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$e^{- x^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

微分積分 例

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