微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x + 5 y$ , $y (0) = 3$

ステップ 1

方程式の両辺から $5 y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - 5 y = x$

ステップ 2

$P (x) = - 5$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 5 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- 5 x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 5 x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{- 5 x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{- 5 x}$ を掛けます。

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 5 x} (- 5 y) = e^{- 5 x} x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$

ステップ 3.3

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 y e^{- 5 x} = x e^{- 5 x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] = x e^{- 5 x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] d x = \int x e^{- 5 x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{- 5 x} y = \int x e^{- 5 x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$u = x$ と $d v = e^{- 5 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{1}{5} e^{- 5 x}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{- 5 x}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{e^{- 5 x}}{5}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

ステップ 7.2.2

$x$ と $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ をまとめます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

ステップ 7.3

$- \frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - (- \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

ステップ 7.4

簡約します。

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ステップ 7.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + 1 (\frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

ステップ 7.4.2

$\frac{1}{5}$ に $1$ をかけます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x$

ステップ 7.5

$u = - 5 x$ とします。次に $d u = - 5 d x$ すると、 $- \frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.5.1

$u = - 5 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.5.1.1

$- 5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 7.5.1.2

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 \cdot 1$

ステップ 7.5.1.4

$- 5$ に $1$ をかけます。

$- 5$

ステップ 7.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

ステップ 7.6

簡約します。

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ステップ 7.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

ステップ 7.6.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

ステップ 7.7

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

ステップ 7.8

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

ステップ 7.9

簡約します。

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ステップ 7.9.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

ステップ 7.9.2

$5$ に $5$ をかけます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

ステップ 7.10

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

ステップ 7.11

簡約します。

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ステップ 7.11.1

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ を $- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ に書き換えます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

ステップ 7.11.2

簡約します。

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ステップ 7.11.2.1

$x$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

ステップ 7.11.2.2

$e^{- 5 x}$ と $\frac{x}{5}$ をまとめます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

ステップ 7.12

$u$ のすべての発生を $- 5 x$ で置き換えます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

ステップ 7.13

$e^{- 5 x}$ と $\frac{1}{25}$ をまとめます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

ステップ 7.14

項を並べ替えます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} e^{- 5 x} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$e^{- 5 x}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x}}{5} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

ステップ 8.1.2

$x$ と $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ をまとめます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

ステップ 8.1.3

$e^{- 5 x}$ と $\frac{1}{25}$ をまとめます。

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

ステップ 8.2

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ の各項を $e^{- 5 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ の各項を $e^{- 5 x}$ で割ります。

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

ステップ 8.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$e^{- 5 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

ステップ 8.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

ステップ 8.2.3.1.2

$\frac{1}{e^{- 5 x}}$ に $\frac{x e^{- 5 x}}{5}$ をかけます。

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

ステップ 8.2.3.1.3

$e^{- 5 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

ステップ 8.2.3.1.3.2

式を書き換えます。

$y = - \frac{x}{5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

ステップ 8.2.3.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

ステップ 8.2.3.1.5

$\frac{1}{e^{- 5 x}}$ に $\frac{e^{- 5 x}}{25}$ をかけます。

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

ステップ 8.2.3.1.6

$e^{- 5 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.1.6.1

共通因数を約分します。

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

ステップ 8.2.3.1.6.2

式を書き換えます。

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

ステップ 9

初期条件を利用し、 $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ の $0$ を $x$ に、 $3$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$3 = - \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$

ステップ 10

$C$ について解きます。

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ステップ 10.1

方程式を $- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$ として書き換えます。

$- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

ステップ 10.2

$- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$ を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$0$ を $5$ で割ります。

$- 0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

ステップ 10.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

ステップ 10.2.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 10.2.2.2.1

$- 5$ に $0$ をかけます。

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{0}} = 3$

ステップ 10.2.2.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{1} = 3$

ステップ 10.2.2.3

$C$ を $1$ で割ります。

$0 - \frac{1}{25} + C = 3$

ステップ 10.2.3

$0$ から $\frac{1}{25}$ を引きます。

$- \frac{1}{25} + C = 3$

ステップ 10.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 10.3.1

方程式の両辺に $\frac{1}{25}$ を足します。

$C = 3 + \frac{1}{25}$

ステップ 10.3.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{25}{25}$ を掛けます。

$C = 3 \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{25}$

ステップ 10.3.3

$3$ と $\frac{25}{25}$ をまとめます。

$C = \frac{3 \cdot 25}{25} + \frac{1}{25}$

ステップ 10.3.4

公分母の分子をまとめます。

$C = \frac{3 \cdot 25 + 1}{25}$

ステップ 10.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 10.3.5.1

$3$ に $25$ をかけます。

$C = \frac{75 + 1}{25}$

ステップ 10.3.5.2

$75$ と $1$ をたし算します。

$C = \frac{76}{25}$

ステップ 11

$\frac{76}{25}$ を $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{76}{25}$ を $C$ に代入します。

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{\frac{76}{25}}{e^{- 5 x}}$

ステップ 11.2

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}}$

ステップ 11.2.2

まとめる。

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76 \cdot 1}{25 e^{- 5 x}}$

ステップ 11.2.3

$76$ に $1$ をかけます。

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25 e^{- 5 x}}$

微分積分 例

微分積分例