微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y \sqrt{y + 1}$ を掛けます。

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{y + 1} (- \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}})$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - y \sqrt{y + 1} \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

ステップ 1.2.2

$y \sqrt{y + 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

$y \sqrt{y + 1}$ を $- y \sqrt{y + 1}$ で因数分解します。

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{y + 1} (- 1) \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

ステップ 1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{y + 1} \cdot - 1 \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

ステップ 1.2.2.3

式を書き換えます。

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - (x^{2} + 1)$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y \sqrt{y + 1} d y = (- x^{2} - 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y \sqrt{y + 1} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = y$ と $d v = \sqrt{y + 1}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y (\frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ と ${(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$y \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.2.2

$y$ と $\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{2}{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y) = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.4

$u = y + 1$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.4.1

$u = y + 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.4.1.1

$y + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 2.2.4.1.2

総和則では、 $y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.4.1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.5

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1}) = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

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ステップ 2.2.6.1

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1})$ を $\frac{2}{3} y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1}$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2

簡約します。

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ステップ 2.2.6.2.1

$\frac{2}{3}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{2 y}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.2

$\frac{2 y}{3}$ と ${(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.3

$\frac{2}{5}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.5

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.6

$- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.7

$- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.9

$u^{\frac{5}{2}}$ と $\frac{4}{15}$ をまとめます。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15} \cdot 3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.10

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.11

$- 3$ と $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}$ をまとめます。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.12

$4$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.13

$3$ を $- 12 u^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.14

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.6.2.14.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.14.3

式を書き換えます。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.15

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.16

$2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.17

$2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.19

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.20

$\frac{\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ を積として書き換えます。

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.21

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.6.2.22

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $y + 1$ で置き換えます。

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.2.8

項を並べ替えます。

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = \int - x^{2} d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) = - \frac{1}{3} x^{3} - x + K$

微分積分 例

微分積分例