微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x^{2} - 4 x}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x^{2} - 4 x})$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} - 4 x}$

ステップ 1.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$- \frac{1}{y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} - 4 x}$

ステップ 1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} - 4 x}$

ステップ 1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2} - 4 x}$

ステップ 1.2.3

$x$ を $x^{2} - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x \cdot x - 4 x}$

ステップ 1.2.3.2

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 4}$

ステップ 1.2.3.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x (x - 4)}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x (x - 4)} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x (x - 4)} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x (x - 4)} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x (x - 4)} d x$

ステップ 2.3.2

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$

ステップ 2.3.2.1.2

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x - 4)$ です。

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 2.3.2.1.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 2.3.2.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 2.3.2.1.4

$x - 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 2.3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 2.3.2.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.5.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.5.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 2.3.2.1.5.1.2

$A (x - 4)$ を $1$ で割ります。

$1 = A (x - 4) + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 2.3.2.1.5.2

分配則を当てはめます。

$1 = A x + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 2.3.2.1.5.3

$- 4$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = A x - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 2.3.2.1.5.4

$x - 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$1 = A x - 4 A + \frac{B (x (x - 4))}{x - 4}$

ステップ 2.3.2.1.5.4.2

$(B) (x)$ を $1$ で割ります。

$1 = A x - 4 A + (B) (x)$

$1 = A x - 4 A + B x$

ステップ 2.3.2.1.6

$- 4 A$ を移動させます。

$1 = A x + B x - 4 A$

ステップ 2.3.2.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 2.3.2.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 4 A$

ステップ 2.3.2.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

ステップ 2.3.2.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1

$1 = - 4 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1.1

方程式を $- 4 A = 1$ として書き換えます。

$- 4 A = 1$

$0 = A + B$

ステップ 2.3.2.3.1.2

$- 4 A = 1$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1.2.1

$- 4 A = 1$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

ステップ 2.3.2.3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

ステップ 2.3.2.3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

ステップ 2.3.2.3.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

ステップ 2.3.2.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- \frac{1}{4}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.2.1

$0 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $- \frac{1}{4}$ で置き換えます。

$0 = (- \frac{1}{4}) + B$

$A = - \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.2.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.2.2.1

括弧を削除します。

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.2.3.3

$0 = - \frac{1}{4} + B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.3.1

方程式を $- \frac{1}{4} + B = 0$ として書き換えます。

$- \frac{1}{4} + B = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.2.3.3.2

方程式の両辺に $\frac{1}{4}$ を足します。

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.2.3.4

連立方程式を解きます。

$B = \frac{1}{4} A = - \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.2.3.5

すべての解をまとめます。

$B = \frac{1}{4}, A = - \frac{1}{4}$

ステップ 2.3.2.4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$- \frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

ステップ 2.3.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

ステップ 2.3.2.5.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{1}{x \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

ステップ 2.3.2.5.3

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{4 x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

ステップ 2.3.2.5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 4}$

ステップ 2.3.2.5.5

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{x - 4}$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

ステップ 2.3.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\int - \frac{1}{4 x} d x + \int \frac{1}{4 (x - 4)} d x)$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \int \frac{1}{4 x} d x + \int \frac{1}{4 (x - 4)} d x)$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{4 (x - 4)} d x)$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \int \frac{1}{4 (x - 4)} d x)$

ステップ 2.3.7

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 4} d x)$

ステップ 2.3.8

$u = x - 4$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.8.1

$u = x - 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1.1

$x - 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 2.3.8.1.2

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.8.1.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.8.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 2.3.9

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{3}))$

ステップ 2.3.10

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{1}{4} \ln (| u |)) + C_{4}$

ステップ 2.3.11

$u$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 4 |)) + C_{4}$

ステップ 2.3.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.12.1.1

$\ln (| x |)$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{\ln (| x |)}{4} + \frac{1}{4} \ln (| x - 4 |)) + C_{4}$

ステップ 2.3.12.1.2

$\frac{1}{4}$ と $\ln (| x - 4 |)$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{\ln (| x |)}{4} + \frac{\ln (| x - 4 |)}{4}) + C_{4}$

ステップ 2.3.12.2

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- \ln (| x |) + \ln (| x - 4 |)}{4} + C_{4}$

ステップ 2.3.12.3

$- 1$ を $- \ln (| x |)$ で因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| x |)) + \ln (| x - 4 |)}{4} + C_{4}$

ステップ 2.3.12.4

$- 1$ を $\ln (| x - 4 |)$ で因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| x |)) - 1 (- \ln (| x - 4 |))}{4} + C_{4}$

ステップ 2.3.12.5

$- 1$ を $- (\ln (| x |)) - 1 (- \ln (| x - 4 |))$ で因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |))}{4} + C_{4}$

ステップ 2.3.12.6

$- (\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |))$ を $- 1 (\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |))$ に書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- 1 (\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |))}{4} + C_{4}$

ステップ 2.3.12.7

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \frac{\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |)}{4} + C_{4}$

ステップ 2.3.12.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \frac{\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |)}{4} + C_{4}$

ステップ 2.3.12.9

$\frac{\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |)}{4}$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |)}{4} + C_{4}$

ステップ 2.3.12.10

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} + C_{4}$

ステップ 2.3.13

項を並べ替えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |}) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{1}{4} \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |}) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\frac{1}{4}$ と $\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})$ をまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} + C$

ステップ 3.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

ステップ 3.3

$\ln (| y |)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\ln (| y |) \cdot \frac{4}{4} - \frac{\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

ステップ 3.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\ln (| y |)$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{\ln (| y |) \cdot 4}{4} - \frac{\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

ステップ 3.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (| y |) \cdot 4 - \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

ステップ 3.5

$4$ を $\ln (| y |)$ の左に移動させます。

$\frac{4 \ln (| y |) - \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

ステップ 3.6

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$\frac{4 \ln (| y |) - \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4}$ を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1.1

対数の中の $4$ を移動させて $4 \ln (| y |)$ を簡約します。

$\frac{\ln ({| y |}^{4}) - \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

ステップ 3.6.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{4}$ の絶対値を削除します。

$\frac{\ln (y^{4}) - \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

ステップ 3.6.1.1.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\ln (\frac{y^{4}}{\frac{| x |}{| x - 4 |}})}{4} = C$

ステップ 3.6.1.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\ln (y^{4} \frac{| x - 4 |}{| x |})}{4} = C$

ステップ 3.6.1.1.5

$y^{4}$ と $\frac{| x - 4 |}{| x |}$ をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |})}{4} = C$

ステップ 3.6.1.2

$\frac{\ln (\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |})}{4}$ を $\frac{1}{4} \ln (\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |})$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \ln (\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |}) = C$

ステップ 3.6.1.3

対数の中の $\frac{1}{4}$ を移動させて $\frac{1}{4} \ln (\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |})$ を簡約します。

$\ln ({(\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |})}^{\frac{1}{4}}) = C$

ステップ 3.6.1.4

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.6.1.4.1

積の法則を $\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |}$ に当てはめます。

$\ln (\frac{{(y^{4} | x - 4 |)}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

ステップ 3.6.1.4.2

積の法則を $y^{4} | x - 4 |$ に当てはめます。

$\ln (\frac{{(y^{4})}^{\frac{1}{4}} {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

ステップ 3.6.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.5.1

${(y^{4})}^{\frac{1}{4}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (\frac{y^{4 (\frac{1}{4})} {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

ステップ 3.6.1.5.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.5.1.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{y^{4 (\frac{1}{4})} {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

ステップ 3.6.1.5.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (\frac{y^{1} {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

ステップ 3.6.1.5.2

簡約します。

$\ln (\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

ステップ 3.7

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}})} = e^{C}$

ステップ 3.8

対数の定義を利用して $\ln (\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 3.9

$y$ について解きます。

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ステップ 3.9.1

方程式を $\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}} = e^{C}$

ステップ 3.9.2

両辺に ${| x |}^{\frac{1}{4}}$ を掛けます。

$\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}} {| x |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}$

ステップ 3.9.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.9.3.1

${| x |}^{\frac{1}{4}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}} {| x |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}$

ステップ 3.9.3.1.2

式を書き換えます。

$y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}$

ステップ 3.9.4

$y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}$ の各項を ${| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.9.4.1

$y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}$ の各項を ${| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}$ で割ります。

$\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}} = \frac{e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 3.9.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.9.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}} = \frac{e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 3.9.4.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{C {| x |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}$

微分積分 例

微分積分例