微分積分例

$e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ , $y (0) = \frac{1}{4}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ の各項を $e^{t}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ の各項を $e^{t}$ で割ります。

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$e^{t}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d t}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d t} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{e^{t}}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

まとめる。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

ステップ 1.3.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

ステップ 1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{t}}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{t}} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$y^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

ステップ 2.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

ステップ 2.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- 2}$ の $y$ に関する積分は $- y^{- 1}$ です。

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

ステップ 2.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{y} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$e^{t}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 {(e^{t})}^{- 1} d t$

ステップ 2.3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

${(e^{t})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{t \cdot - 1} d t$

ステップ 2.3.1.2.1.2

$- 1$ を $t$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- 1 \cdot t} d t$

ステップ 2.3.1.2.1.3

$- 1 t$ を $- t$ に書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- t} d t$

ステップ 2.3.1.2.2

$e^{- t}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{- t} d t$

ステップ 2.3.2

$u = - t$ とします。次に $d u = - d t$ すると、 $- d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$u = - t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$- t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 2.3.2.1.2

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $- t$ で置き換えます。

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- t} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y, 1, 1$

ステップ 3.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y$

ステップ 3.2

$- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ の各項に $y$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ の各項に $y$ を掛けます。

$- \frac{1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

ステップ 3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = - e^{- t} y + K y$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$- e^{- t} y + K y$ の因数を並べ替えます。

$- 1 = - y e^{- t} + K y$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $- y e^{- t} + K y = - 1$ として書き換えます。

$- y e^{- t} + K y = - 1$

ステップ 3.3.2

$y$ を $- y e^{- t} + K y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$y$ を $- y e^{- t}$ で因数分解します。

$y (- 1 e^{- t}) + K y = - 1$

ステップ 3.3.2.2

$y$ を $K y$ で因数分解します。

$y (- 1 e^{- t}) + y K = - 1$

ステップ 3.3.2.3

$y$ を $y (- 1 e^{- t}) + y K$ で因数分解します。

$y (- 1 e^{- t} + K) = - 1$

ステップ 3.3.3

$- 1 e^{- t}$ を $- e^{- t}$ に書き換えます。

$y (- e^{- t} + K) = - 1$

ステップ 3.3.4

$y (- e^{- t} + K) = - 1$ の各項を $- e^{- t} + K$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

$y (- e^{- t} + K) = - 1$ の各項を $- e^{- t} + K$ で割ります。

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

ステップ 3.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1

$- e^{- t} + K$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

ステップ 3.3.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

ステップ 3.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1}{- e^{- t} + K}$

ステップ 3.3.4.3.2

$- 1$ を $- e^{- t}$ で因数分解します。

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) + K}$

ステップ 3.3.4.3.3

$- 1$ を $K$ で因数分解します。

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) - 1 (- K)}$

ステップ 3.3.4.3.4

$- 1$ を $- (e^{- t}) - 1 (- K)$ で因数分解します。

$y = - \frac{1}{- (e^{- t} - K)}$

ステップ 3.3.4.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.3.5.1

$- (e^{- t} - K)$ を $- 1 (e^{- t} - K)$ に書き換えます。

$y = - \frac{1}{- 1 (e^{- t} - K)}$

ステップ 3.3.4.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - - \frac{1}{e^{- t} - K}$

ステップ 3.3.4.3.5.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = 1 \frac{1}{e^{- t} - K}$

ステップ 3.3.4.3.5.4

$\frac{1}{e^{- t} - K}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{1}{e^{- t} - K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{1}{e^{- t} + K}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ の $0$ を $t$ に、 $\frac{1}{4}$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} = \frac{1}{e^{0} + K}$

ステップ 6

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式を $\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$ として書き換えます。

$\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$

ステップ 6.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$

ステップ 6.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1 + K, 4$

ステップ 6.3.2

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 6.3.3

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 6.3.4

$4$ には $2$ と $2$ の因数があります。

$2 \cdot 2$

ステップ 6.3.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4$

ステップ 6.3.6

$1 + K$ の因数は $1 + K$ そのものです。

$(1 + K) = 1 + K$

$(1 + K)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 6.3.7

$1 + K$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1 + K$

ステップ 6.3.8

ある数の最小公倍数 $LCM$ はその数が因数分解された最小の数です。

$4 (1 + K)$

ステップ 6.4

$\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ の各項に $4 (1 + K)$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ の各項に $4 (1 + K)$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + K} (4 (1 + K)) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

ステップ 6.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 \frac{1}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

ステップ 6.4.2.2

$4$ と $\frac{1}{1 + K}$ をまとめます。

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

ステップ 6.4.2.3

$1 + K$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

ステップ 6.4.2.3.2

式を書き換えます。

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

ステップ 6.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.1.1

共通因数を約分します。

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

ステップ 6.4.3.1.2

式を書き換えます。

$4 = 1 + K$

ステップ 6.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

方程式を $1 + K = 4$ として書き換えます。

$1 + K = 4$

ステップ 6.5.2

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$K = 4 - 1$

ステップ 6.5.2.2

$4$ から $1$ を引きます。

$K = 3$

ステップ 7

$3$ を $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$3$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{1}{e^{- t} + 3}$

微分積分 例

微分積分例