微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + 2 y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $1 + 2 y$ を掛けます。

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

ステップ 1.2

$1 + 2 y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = 2 x$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(1 + 2 y) d y = 2 x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 1 + 2 y d y = \int 2 x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d y + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.3

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} + 2 \int y d y = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$y + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

簡約します。

$y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.5.2

簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.5.2.2.2

式を書き換えます。

$y + 1 y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.5.2.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$y + y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.6

項を並べ替えます。

$y^{2} + y + C_{3} = \int 2 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y^{2} + y + C_{3} = 2 \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ に書き換えます。

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} + y + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} + y + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y^{2} + y = x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$y^{2} + y - x^{2} = K$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$y^{2} + y - x^{2} - K = 0$

ステップ 3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.3

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = - x^{2} - K$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- x^{2}) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.4

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.1.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

ステップ 3.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + K}}{2}$

微分積分 例

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