微分積分例

$x^{2} - (y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} + (- y^{3} - 1 \cdot 2) \frac{d y}{d x} = 0$

ステップ 1.1.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{2} + (- y^{3} - 2) \frac{d y}{d x} = 0$

ステップ 1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} - y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x} = 0$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$- y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

ステップ 1.1.3

$\frac{d y}{d x}$ を $- y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{d y}{d x}$ を $- y^{3} \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} (- y^{3}) - 2 \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $- 2 \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} (- y^{3}) + \frac{d y}{d x} \cdot - 2 = - x^{2}$

ステップ 1.1.3.3

$\frac{d y}{d x}$ を $\frac{d y}{d x} (- y^{3}) + \frac{d y}{d x} \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$

ステップ 1.1.4

$\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$ の各項を $- y^{3} - 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$ の各項を $- y^{3} - 2$ で割ります。

$\frac{\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2)}{- y^{3} - 2} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

ステップ 1.1.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1

$- y^{3} - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2)}{- y^{3} - 2} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

ステップ 1.1.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- y^{3} - 2}$

ステップ 1.1.4.3.2

$- 1$ を $- y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3}) - 2}$

ステップ 1.1.4.3.3

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3}) - 1 (2)}$

ステップ 1.1.4.3.4

$- 1$ を $- (y^{3}) - 1 (2)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3} + 2)}$

ステップ 1.1.4.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.1.4.3.5.1

$- (y^{3} + 2)$ を $- 1 (y^{3} + 2)$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- 1 (y^{3} + 2)}$

ステップ 1.1.4.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - - \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.5.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = 1 \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

ステップ 1.1.4.3.5.4

$\frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

ステップ 1.2

両辺に $y^{3} + 2$ を掛けます。

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = (y^{3} + 2) \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

ステップ 1.3

$y^{3} + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = (y^{3} + 2) \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$(y^{3} + 2) d y = x^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{3} + 2 d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y^{3} d y + \int 2 d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{3}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{4} y^{4}$ です。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int 2 d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.4

簡約します。

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

微分積分 例

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