微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + 8 x$ ; , $y (3) = 11$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (6 x^{2} + 8 x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 6 x^{2} + 8 x d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} + 8 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} d x + \int 8 x d x$

ステップ 2.3.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 6 \int x^{2} d x + \int 8 x d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 8 x d x$

ステップ 2.3.4

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 8 \int x d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

簡約します。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.2.1

$6$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{6}{3} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.2.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{2}{1} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.3

$8$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{8}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.4

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.4.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 4}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.4.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{4}{1} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2.4.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 4 x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = 2 x^{3} + 4 x^{2} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = 2 x^{3} + 4 x^{2} + K$ の $3$ を $x$ に、 $11$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$11 = 2 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $2 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} + K = 11$ として書き換えます。

$2 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} + K = 11$

ステップ 4.2

$2 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot 27 + 4 \cdot 3^{2} + K = 11$

ステップ 4.2.1.2

$2$ に $27$ をかけます。

$54 + 4 \cdot 3^{2} + K = 11$

ステップ 4.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$54 + 4 \cdot 9 + K = 11$

ステップ 4.2.1.4

$4$ に $9$ をかけます。

$54 + 36 + K = 11$

ステップ 4.2.2

$54$ と $36$ をたし算します。

$90 + K = 11$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $90$ を引きます。

$K = 11 - 90$

ステップ 4.3.2

$11$ から $90$ を引きます。

$K = - 79$

ステップ 5

$- 79$ を $y = 2 x^{3} + 4 x^{2} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 79$ を $K$ に代入します。

$y = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 79$

微分積分 例

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