微分積分例

$x d x + \frac{1}{y} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $x d x$ を引きます。

$\frac{1}{y} d y = - x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - x d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

ステップ 3.3.2

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$| y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$

ステップ 3.3.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$ を $e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

微分積分 例

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