微分積分例

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y - x^{2} = 0$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺に $x^{2}$ を足します。

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$

ステップ 1.2

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 1.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 1.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 1.4.2

$2 y$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 1.5

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x}$

ステップ 1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

ステップ 1.5.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

ステップ 1.5.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

ステップ 1.5.2.4

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x}{1}$

ステップ 1.5.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x$

ステップ 2

$P (x) = 2$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{2 x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{2 x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{2 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $e^{2 x}$ を掛けます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$

ステップ 3.3

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{2 x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{2 x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{2 x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

ステップ 7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

ステップ 7.2.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

ステップ 7.3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

ステップ 7.4

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.4.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.4.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 7.5

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 7.6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

ステップ 7.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

ステップ 7.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

ステップ 7.8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

ステップ 7.9

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ を $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ に書き換えます。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

ステップ 7.10

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

ステップ 8

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割ります。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.1.2

$\frac{1}{2} x$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.2

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.2.2

$- \frac{1}{4}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2

$\frac{1}{2} x$ から $\frac{1}{4}$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ を並べ替えます。

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.2

$x \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.3

$x \frac{1}{2}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (2)) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.3.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x \cdot 2 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.3.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{2 x - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.4

$\frac{2 x - 1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ を掛けます。

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.5

$\frac{C}{e^{2 x}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 8.3.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4 e^{2 x}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.6.1

$\frac{2 x - 1}{4}$ に $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ をかけます。

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 8.3.6.2

$\frac{C}{e^{2 x}}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{e^{2 x} \cdot 4}$

ステップ 8.3.6.3

$e^{2 x} \cdot 4$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

ステップ 8.3.7

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

ステップ 8.3.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.8.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 x e^{2 x} - 1 e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

ステップ 8.3.8.2

$- 1 e^{2 x}$ を $- e^{2 x}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

ステップ 8.3.8.3

$4$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$

微分積分 例

微分積分例