微分積分例

$(2 x - 1) d x = - (3 y + 7) d y$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$- (3 y + 7) d y = (2 x - 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int - (3 y + 7) d y = \int 2 x - 1 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- (3 y + 7)$ を掛けます。

$\int - (3 y) - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int - 3 y - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

ステップ 2.2.2.2

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\int - 3 y - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

ステップ 2.2.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - 3 y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

ステップ 2.2.4

$- 3$ は $y$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$- 3 \int y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

ステップ 2.2.5

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

ステップ 2.2.6

定数の法則を当てはめます。

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

ステップ 2.2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$- 3 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

ステップ 2.2.7.2

簡約します。

$\frac{- 3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

ステップ 2.2.7.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

ステップ 2.2.8

項を並べ替えます。

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = x^{2} - x + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$y^{2}$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$- \frac{y^{2} \cdot 3}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

ステップ 3.1.2

$3$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

ステップ 3.2

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} = - x + K$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $x$ を足します。

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x = K$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x - K = 0$

ステップ 3.3

両辺に最小公分母 $2$ を掛け、次に簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$2 (- \frac{3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$- \frac{3 y^{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.1.2

共通因数を約分します。

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.1.3

式を書き換えます。

$- 3 y^{2} + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.2

$- 7$ に $2$ をかけます。

$- 3 y^{2} - 14 y + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x - 2 K = 0$

ステップ 3.3.3

$- 14 y$ を移動させます。

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} + 2 x - 2 K - 14 y = 0$

ステップ 3.3.4

$2 x$ を移動させます。

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

ステップ 3.3.5

$- 3 y^{2}$ と $- 2 x^{2}$ を並べ替えます。

$- 2 x^{2} - 3 y^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

ステップ 3.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5

$a = - 3$ 、 $b = - 14$ 、および $c = - 2 x^{2} - 2 K + 2 x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x))}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$- 14$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.4.1

$- 2$ に $12$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6.1.4.2

$- 2$ に $12$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6.1.4.3

$2$ に $12$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6.1.5

$4$ を $196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.5.1

$4$ を $196$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6.1.5.2

$4$ を $- 24 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6.1.5.3

$4$ を $- 24 K$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6.1.5.4

$4$ を $24 x$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6.1.5.5

$4$ を $4 (49) + 4 (- 6 x^{2})$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6.1.5.6

$4$ を $4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K)$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6.1.5.7

$4$ を $4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6.1.6

$4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ を $2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6.1.6.2

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6.1.8

$7$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$

ステップ 3.6.3

$\frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$ を簡約します。

$y = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 3}$

ステップ 3.6.4

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

ステップ 3.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$

微分積分 例

微分積分例