微分積分例

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ}$ , $r (1) = 2$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{r^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{r^{2}}{θ}$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

まとめる。

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

ステップ 1.2.2

$r^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

ステップ 1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{θ}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{r^{2}} d r = \frac{1}{θ} d θ$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{r^{2}} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$r^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(r^{2})}^{- 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

ステップ 2.2.1.2

${(r^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int r^{2 \cdot - 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

ステップ 2.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int r^{- 2} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $r^{- 2}$ の $r$ に関する積分は $- r^{- 1}$ です。

$- r^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

ステップ 2.2.3

$- r^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{r} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

ステップ 2.3

$\frac{1}{θ}$ の $θ$ に関する積分は $\ln (| θ |)$ です。

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \ln (| θ |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$

ステップ 3

$r$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$r, 1, 1$

ステップ 3.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$r$

ステップ 3.2

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ の各項に $r$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ の各項に $r$ を掛けます。

$- \frac{1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$r$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{r}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

ステップ 3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = \ln (| θ |) r + C r$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$\ln (| θ |) r + C r$ の因数を並べ替えます。

$- 1 = r \ln (| θ |) + C r$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $r \ln (| θ |) + C r = - 1$ として書き換えます。

$r \ln (| θ |) + C r = - 1$

ステップ 3.3.2

$r$ を $r \ln (| θ |) + C r$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$r$ を $C r$ で因数分解します。

$r \ln (| θ |) + r C = - 1$

ステップ 3.3.2.2

$r$ を $r \ln (| θ |) + r C$ で因数分解します。

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$

ステップ 3.3.3

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ の各項を $\ln (| θ |) + C$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ の各項を $\ln (| θ |) + C$ で割ります。

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$\ln (| θ |) + C$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$r$ を $1$ で割ります。

$r = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$

ステップ 4

初期条件を利用し、 $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ の $1$ を $θ$ に、 $2$ を $r$ に代入し $C$ の値を求めます。

$2 = - \frac{1}{\ln (| 1 |) + C}$

ステップ 5

$C$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$ として書き換えます。

$- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$

ステップ 5.2

各項を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$- \frac{1}{\ln (1) + C} = 2$

ステップ 5.2.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$- \frac{1}{0 + C} = 2$

ステップ 5.2.3

$0$ と $C$ をたし算します。

$- \frac{1}{C} = 2$

ステップ 5.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$C, 1$

ステップ 5.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$C$

ステップ 5.4

$- \frac{1}{C} = 2$ の各項に $C$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.4.1

$- \frac{1}{C} = 2$ の各項に $C$ を掛けます。

$- \frac{1}{C} C = 2 C$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$C$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

$- \frac{1}{C}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

ステップ 5.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

ステップ 5.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = 2 C$

ステップ 5.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

方程式を $2 C = - 1$ として書き換えます。

$2 C = - 1$

ステップ 5.5.2

$2 C = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$2 C = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.5.2.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$C = - \frac{1}{2}$

ステップ 6

$- \frac{1}{2}$ を $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$- \frac{1}{2}$ を $C$ に代入します。

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) - \frac{1}{2}}$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\ln (| θ |)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.2

$\ln (| θ |)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

ステップ 6.2.3

公分母の分子をまとめます。

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2 - 1}{2}}$

ステップ 6.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$\ln (| θ |) \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1.1

$\ln (| θ |)$ と $2$ を並べ替えます。

$r = - \frac{1}{\frac{2 \cdot \ln (| θ |) - 1}{2}}$

ステップ 6.2.4.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \cdot \ln (| θ |)$ を簡約します。

$r = - \frac{1}{\frac{\ln ({| θ |}^{2}) - 1}{2}}$

ステップ 6.2.4.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| θ |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (θ^{2}) - 1}{2}}$

ステップ 6.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$r = - (1 \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1})$

ステップ 6.4

$\frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$ に $1$ をかけます。

$r = - \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$

微分積分 例

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