微分積分例

$\frac{d v}{d t} = 8 t + \csc^{2} (t)$ , $v (\frac{π}{2}) = - 7$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d v = (8 t + \csc^{2} (t)) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d v = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$v + C_{1} = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$v + C_{1} = \int 8 t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.2

$8$ は $t$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$v + C_{1} = 8 \int t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \csc^{2} (t) d t$

ステップ 2.3.4

$- \cot (t)$ の微分係数が $\csc^{2} (t)$ なので、 $\csc^{2} (t)$ の積分は $- \cot (t)$ です。

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$v + C_{1} = 8 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$v + C_{1} = 4 t^{2} - \cot (t) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ の $\frac{π}{2}$ を $t$ に、 $- 7$ を $v$ に代入し $K$ の値を求めます。

$- 7 = 4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$ として書き換えます。

$4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

積の法則を $\frac{π}{2}$ に当てはめます。

$4 \frac{π^{2}}{2^{2}} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

ステップ 4.2.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

ステップ 4.2.1.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

ステップ 4.2.1.1.3.2

式を書き換えます。

$π^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

ステップ 4.2.1.1.4

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$π^{2} - 0 + K = - 7$

ステップ 4.2.1.1.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$π^{2} + 0 + K = - 7$

ステップ 4.2.1.2

$π^{2}$ と $0$ をたし算します。

$π^{2} + K = - 7$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $π^{2}$ を引きます。

$K = - 7 - π^{2}$

ステップ 5

$- 7 - π^{2}$ を $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 7 - π^{2}$ を $K$ に代入します。

$v = 4 t^{2} - \cot (t) - 7 - π^{2}$

微分積分 例

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