微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 + 2 x y$

ステップ 1

方程式の両辺から $2 x y$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 2$

ステップ 2

$P (x) = - 2 x$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 2 x d x}$

ステップ 2.2

$- 2 x$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 2 \int x d x}$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

ステップ 2.2.3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$e^{- x^{2} + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- x^{2}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{- x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{- x^{2}}$ を掛けます。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} \cdot 2$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} \cdot 2$

ステップ 3.3

$2$ を $e^{- x^{2}}$ の左に移動させます。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 \cdot e^{- x^{2}}$

ステップ 3.4

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 e^{- x^{2}}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 2 e^{- x^{2}}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 2 e^{- x^{2}} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{- x^{2}} y = \int 2 e^{- x^{2}} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{- x^{2}} y = 2 \int e^{- x^{2}} d x$

ステップ 7.2

$\int e^{- x^{2}} d x$ は特殊な積分です。この積分は誤差関数です。

$e^{- x^{2}} y = 2 (erf (x) + C)$

ステップ 7.3

簡約します。

$e^{- x^{2}} y = 2 erf (x) + C$

ステップ 8

$e^{- x^{2}} y = 2 e r f x + C$ の各項を $e^{- x^{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{- x^{2}} y = 2 e r f x + C$ の各項を $e^{- x^{2}}$ で割ります。

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{2 e r f x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{- x^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{2 e r f x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{2 e r f x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

微分積分 例

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