微分積分例

$\frac{d y}{d t} = \frac{t + t y}{1 + t^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$t$ を $t + t y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{t^{1} + t y}{1 + t^{2}}$

ステップ 1.1.2

$t$ を $t^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot 1 + t y}{1 + t^{2}}$

ステップ 1.1.3

$t$ を $t y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot 1 + t (y)}{1 + t^{2}}$

ステップ 1.1.4

$t$ を $t \cdot 1 + t (y)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot (1 + y)}{1 + t^{2}}$

ステップ 1.1.5

$t$ に $1 + y$ をかけます。

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (1 + y)}{1 + t^{2}}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y)$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{1 + y}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} (\frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y))$

ステップ 1.4

$1 + y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$1 + y$ を $\frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{t}{1 + t^{2}})$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{t}{1 + t^{2}})$

ステップ 1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{t}{1 + t^{2}}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = 1 + y$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = 1 + y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$1 + y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $1 + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.1.1.3

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.1.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 2.2.1.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + y$ で置き換えます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u_{2} = 1 + t^{2}$ とします。次に $d u_{2} = 2 t d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = t d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u_{2} = 1 + t^{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$1 + t^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $1 + t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.3

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

ステップ 2.3.1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 t$

ステップ 2.3.1.1.5

$0$ と $2 t$ をたし算します。

$2 t$

ステップ 2.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.2.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + t^{2}$ で置き換えます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + t^{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} \ln (| 1 + t^{2} |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| 1 + t^{2} |)$ をまとめます。

$\ln (| 1 + y |) = \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} + C$

ステップ 3.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 1 + y |) - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.3

$\ln (| 1 + y |)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\ln (| 1 + y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.4

項を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\ln (| 1 + y |)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2 - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.5

$2$ を $\ln (| 1 + y |)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.6

左辺を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$\frac{2 \ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| 1 + y |)$ を簡約します。

$\frac{\ln ({| 1 + y |}^{2}) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.6.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| 1 + y |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2}) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

ステップ 3.6.1.1.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}{2} = C$

ステップ 3.6.1.2

$\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |}) = C$

ステップ 3.6.1.3

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})$ を簡約します。

$\ln ({(\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

ステップ 3.6.1.4

積の法則を $\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |}$ に当てはめます。

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.6.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.5.1

${({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.6.1.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.6.1.5.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1.5.1.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.6.1.5.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{1}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.6.1.5.2

簡約します。

$\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

ステップ 3.7

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

ステップ 3.8

対数の定義を利用して $\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.9

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

方程式を $\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

ステップ 3.9.2

両辺に ${| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.9.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.1

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.1.1

${| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.9.3.1.1.2

式を書き換えます。

$1 + y = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.9.3.1.2

$1$ と $y$ を並べ替えます。

$y + 1 = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.9.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 1$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = C {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 1$

微分積分 例

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