微分積分例

$\frac{d r}{d s} = 3 r^{2}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{r^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d s} = \frac{1}{r^{2}} (3 r^{2})$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d s} = 3 \frac{1}{r^{2}} r^{2}$

ステップ 1.2.2

$3$ と $\frac{1}{r^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d s} = \frac{3}{r^{2}} r^{2}$

ステップ 1.2.3

$r^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d s} = \frac{3}{r^{2}} r^{2}$

ステップ 1.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d s} = 3$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{r^{2}} d r = 3 d s$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{r^{2}} d r = \int 3 d s$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$r^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(r^{2})}^{- 1} d r = \int 3 d s$

ステップ 2.2.1.2

${(r^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int r^{2 \cdot - 1} d r = \int 3 d s$

ステップ 2.2.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int r^{- 2} d r = \int 3 d s$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $r^{- 2}$ の $r$ に関する積分は $- r^{- 1}$ です。

$- r^{- 1} + C_{1} = \int 3 d s$

ステップ 2.2.3

$- r^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{r} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \int 3 d s$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{r} + C_{1} = 3 s + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{r} = 3 s + K$

ステップ 3

$r$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$r, 1, 1$

ステップ 3.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$r$

ステップ 3.2

$- \frac{1}{r} = 3 s + K$ の各項に $r$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{r} = 3 s + K$ の各項に $r$ を掛けます。

$- \frac{1}{r} r = 3 s r + K r$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$r$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{r}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{r} r = 3 s r + K r$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{r} r = 3 s r + K r$

ステップ 3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = 3 s r + K r$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $3 s r + K r = - 1$ として書き換えます。

$3 s r + K r = - 1$

ステップ 3.3.2

$r$ を $3 s r + K r$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1

$r$ を $3 s r$ で因数分解します。

$r (3 s) + K r = - 1$

ステップ 3.3.2.2

$r$ を $K r$ で因数分解します。

$r (3 s) + r K = - 1$

ステップ 3.3.2.3

$r$ を $r (3 s) + r K$ で因数分解します。

$r (3 s + K) = - 1$

ステップ 3.3.3

$r (3 s + K) = - 1$ の各項を $3 s + K$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$r (3 s + K) = - 1$ の各項を $3 s + K$ で割ります。

$\frac{r (3 s + K)}{3 s + K} = \frac{- 1}{3 s + K}$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$3 s + K$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{r (3 s + K)}{3 s + K} = \frac{- 1}{3 s + K}$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$r$ を $1$ で割ります。

$r = \frac{- 1}{3 s + K}$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$r = - \frac{1}{3 s + K}$

微分積分 例

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