微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y^{2}}$ , $y (2) = \sqrt[3]{15}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

ステップ 1.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y^{2} d y = x^{3} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} d y = \int x^{3} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{3} d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{4} x^{4} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{4} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$3$ と $\frac{x^{4}}{4}$ をまとめます。

$y^{3} = \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

ステップ 3.4

$\sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$3$ を $\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$3$ を $\frac{3 x^{4}}{4}$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

ステップ 3.4.1.2

$3$ を $3 K$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

ステップ 3.4.1.3

$3$ を $3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K)}$

ステップ 3.4.2

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

ステップ 3.4.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$K$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

ステップ 3.4.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

ステップ 3.4.4

$4$ を $K$ の左に移動させます。

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + 4 K}{4}}$

ステップ 3.4.5

$3$ と $\frac{x^{4} + 4 K}{4}$ をまとめます。

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$

ステップ 3.4.6

$\sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$ を $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

ステップ 3.4.7

$\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 3.4.8

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.1

$\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 3.4.8.2

$\sqrt[3]{4}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 3.4.8.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.4.8.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

ステップ 3.4.8.5

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ を $4$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{4}$ を $4^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.4.8.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.4.8.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.8.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.8.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

ステップ 3.4.8.5.5

指数を求めます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

ステップ 3.4.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.1

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ を $\sqrt[3]{4^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

ステップ 3.4.9.2

$4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

ステップ 3.4.9.3

$16$ を $2^{3} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.3.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

ステップ 3.4.9.3.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

ステップ 3.4.9.4

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

ステップ 3.4.9.5

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.5.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

ステップ 3.4.9.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{4}$

ステップ 3.4.10

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.10.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.4.10.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.4.10.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ の $2$ を $x$ に、 $\sqrt[3]{15}$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$\sqrt[3]{15} = \frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2}$

ステップ 6

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式を $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$ として書き換えます。

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$

ステップ 6.2

両辺に $2$ を掛けます。

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

ステップ 6.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

ステップ 6.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$2$ を $\sqrt[3]{15}$ の左に移動させます。

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = 2 \sqrt[3]{15}$

ステップ 6.4

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{6 (16 + K)}}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

ステップ 6.4.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{6 (16 + K)}$ を ${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

ステップ 6.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1

${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1.1

${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

ステップ 6.4.2.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

ステップ 6.4.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(6 (16 + K))}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

ステップ 6.4.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

${(6 \cdot 16 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

ステップ 6.4.2.2.1.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1.3.1

$6$ に $16$ をかけます。

${(96 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

ステップ 6.4.2.2.1.3.2

簡約します。

$96 + 6 K = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

ステップ 6.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.1

${(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.1.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.1.1.1

積の法則を $2 \sqrt[3]{15}$ に当てはめます。

$96 + 6 K = 2^{3} {\sqrt[3]{15}}^{3}$

ステップ 6.4.2.3.1.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$96 + 6 K = 8 {\sqrt[3]{15}}^{3}$

ステップ 6.4.2.3.1.2

${\sqrt[3]{15}}^{3}$ を $15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{15}$ を $15^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$96 + 6 K = 8 {(15^{\frac{1}{3}})}^{3}$

ステップ 6.4.2.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

ステップ 6.4.2.3.1.2.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

ステップ 6.4.2.3.1.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

ステップ 6.4.2.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{1}$

ステップ 6.4.2.3.1.2.5

指数を求めます。

$96 + 6 K = 8 \cdot 15$

ステップ 6.4.2.3.1.3

$8$ に $15$ をかけます。

$96 + 6 K = 120$

ステップ 6.4.3

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.1

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.1.1

方程式の両辺から $96$ を引きます。

$6 K = 120 - 96$

ステップ 6.4.3.1.2

$120$ から $96$ を引きます。

$6 K = 24$

ステップ 6.4.3.2

$6 K = 24$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.1

$6 K = 24$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

ステップ 6.4.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

ステップ 6.4.3.2.2.1.2

$K$ を $1$ で割ります。

$K = \frac{24}{6}$

ステップ 6.4.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.2.3.1

$24$ を $6$ で割ります。

$K = 4$

ステップ 7

$4$ を $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$4$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4)}}{2}$

微分積分 例

微分積分例