微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \sin (2 x + π)$ , $y (0) = 6$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \sin (2 x + π) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \sin (2 x + π) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \sin (2 x + π) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = 2 x + π$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = 2 x + π$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$2 x + π$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + π]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $2 x + π$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [π]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 2.3.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 2.3.1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [π]$

ステップ 2.3.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1.1.4.1

$π$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $π$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 2.3.1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.2

$\sin (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

ステップ 2.3.4

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2

$\frac{1}{2}$ と $\cos (u)$ をまとめます。

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u$ のすべての発生を $2 x + π$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{\cos (2 x + π)}{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.7

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$ の $0$ を $x$ に、 $6$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$6 = - \frac{1}{2} \cos (2 \cdot 0 + π) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot 0 + π) + K = 6$ として書き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot 0 + π) + K = 6$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (0 + π) + K = 6$

ステップ 4.2.1.2

$0$ と $π$ をたし算します。

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (π) + K = 6$

ステップ 4.2.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{1}{2} \cdot (- \cos (0)) + K = 6$

ステップ 4.2.1.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) + K = 6$

ステップ 4.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} \cdot - 1 + K = 6$

ステップ 4.2.1.6

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{2}) + K = 6$

ステップ 4.2.1.6.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} + K = 6$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$K = 6 - \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$K = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.3

$6$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$K = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{6 \cdot 2 - 1}{2}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$6$ に $2$ をかけます。

$K = \frac{12 - 1}{2}$

ステップ 4.3.5.2

$12$ から $1$ を引きます。

$K = \frac{11}{2}$

ステップ 5

$\frac{11}{2}$ を $y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{11}{2}$ を $K$ に代入します。

$y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + \frac{11}{2}$

ステップ 5.2

$\cos (2 x + π)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{\cos (2 x + π)}{2} + \frac{11}{2}$

微分積分 例

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