微分積分例

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

ステップ 1

$v = \frac{d y}{d x}$ とします。すると $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ です。 $v$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $\frac{d v}{d x}$ を $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ に代入し、従属変数 $v$ と独立変数 $x$ について微分方程式を得ます。

$x \frac{d v}{d x} + v = 0$

ステップ 2

方程式の左辺は項 $x v$ の微分係数の結果か確認します。

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ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x v' + v \cdot 1$

ステップ 2.4

$\frac{d v}{d x}$ を $v'$ に代入します。

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

ステップ 2.5

$v$ と $1$ を並べ替えます。

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

ステップ 2.6

$v$ に $1$ をかけます。

$x \frac{d v}{d x} + v$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x v] = 0$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 0 d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$x v = \int 0 d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$x v = 0 + C_{1}$

ステップ 6.2

$0$ と $C_{1}$ をたし算します。

$x v = C_{1}$

ステップ 7

$x v = C_{1}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$x v = C_{1}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

ステップ 7.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{C_{1}}{x}$

ステップ 8

$v$ のすべての発生を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{1}}{x}$

ステップ 9

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{C_{1}}{x} d x$

ステップ 10

両辺を積分します。

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ステップ 10.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

ステップ 10.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{2} = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

ステップ 10.3

右辺を積分します。

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ステップ 10.3.1

$C_{1}$ は $x$ に対して定数なので、 $C_{1}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{2} = C_{1} \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 10.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + C_{2} = C_{1} (\ln (| x |) + C_{3})$

ステップ 10.3.3

簡約します。

$y + C_{2} = C_{1} \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 10.4

右辺の積分定数を $D$ としてまとめます。

$y = C \ln (| x |) + D$

微分積分 例

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