微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 (2 x - y)$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = 2 (2 x) + 2 (- y)$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $2 (- y)$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - 2 (- y) = 2 (2 x)$

ステップ 1.1.3

項を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 y = 2 (2 x)$

ステップ 1.2

孤立係数で方程式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 y = 2 \cdot 2 x$

ステップ 2

$P (x) = - 2 \cdot - 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - 2 \cdot - 1 d x}$

ステップ 2.2

$- 2 \cdot - 1$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{\int 2 d x}$

ステップ 2.2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{2 x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{2 x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{2 x}$ を掛けます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (- 2 \cdot - 1 y) = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

ステップ 3.2.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 \cdot 2 e^{2 x} x$

ステップ 3.4

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 4 e^{2 x} x$

ステップ 3.5

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 4 e^{2 x} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 4 x e^{2 x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 4 x e^{2 x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 4 x e^{2 x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{2 x} y = \int 4 x e^{2 x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = 4 \int x e^{2 x} d x$

ステップ 7.2

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{2 x} y = 4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = 4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 7.3.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 7.3.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

ステップ 7.4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

ステップ 7.5

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.5.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

ステップ 7.6

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

ステップ 7.7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

ステップ 7.8

簡約します。

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ステップ 7.8.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

ステップ 7.8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

ステップ 7.9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

ステップ 7.10

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ を $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 7.11

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

ステップ 7.12

簡約します。

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ステップ 7.12.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.12.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

ステップ 7.12.1.2

$\frac{x}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

ステップ 7.12.1.3

$e^{2 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 7.12.2

分配則を当てはめます。

$e^{2 x} y = 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 7.12.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.12.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$e^{2 x} y = 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 7.12.3.2

共通因数を約分します。

$e^{2 x} y = 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 7.12.3.3

式を書き換えます。

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 7.12.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.12.4.1

$- \frac{e^{2 x}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

ステップ 7.12.4.2

共通因数を約分します。

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

ステップ 7.12.4.3

式を書き換えます。

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

ステップ 8

$e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割ります。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.1.2

$2 x$ を $1$ で割ります。

$y = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.2

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.1.2.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$y = 2 x - 1 + \frac{C}{e^{2 x}}$

微分積分 例

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