微分積分例

$(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ , $y (0) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ の各項を $1 + \sin^{2} (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ の各項を $1 + \sin^{2} (x)$ で割ります。

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$1 + \sin^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{e^{- 2 y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

ステップ 1.4

$e^{- 2 y}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$e^{- 2 y}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int 1 {(e^{- 2 y})}^{- 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1.2.1

${(e^{- 2 y})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 1 e^{- 2 y \cdot - 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

ステップ 2.2.1.2.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\int 1 e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$e^{2 y}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

ステップ 2.2.2

$u_{1} = 2 y$ とします。次に $d u_{1} = 2 d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$u_{1} = 2 y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$2 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [2 y]$

ステップ 2.2.2.1.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$2 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.2.2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

ステップ 2.2.3

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

ステップ 2.2.5

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

ステップ 2.2.7

$u_{1}$ のすべての発生を $2 y$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ とします。次に $d u_{3} = \sin (2 x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{3} = d x$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$1 + \sin^{2} (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

ステップ 2.3.1.1.2

微分します。

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ステップ 2.3.1.1.2.1

総和則では、 $1 + \sin^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 2.3.1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (x)$ とします。

$0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.3.1.1.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.3.1.1.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$0 + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.3.1.1.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$0 + 2 \sin (x) \cos (x)$

ステップ 2.3.1.1.4

簡約します。

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ステップ 2.3.1.1.4.1

$0$ と $2 \sin (x) \cos (x)$ をたし算します。

$2 \sin (x) \cos (x)$

ステップ 2.3.1.1.4.2

$2 \sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$2 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 2.3.1.1.4.3

$2 \cos (x)$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\sin (x) (2 \cos (x))$

ステップ 2.3.1.1.4.4

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

ステップ 2.3.1.1.4.5

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (2 x)$

ステップ 2.3.1.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{u_{3}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $\ln (| u_{3} |)$ です。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| u_{3} |) + C_{2}$

ステップ 2.3.3

$u_{3}$ のすべての発生を $1 + \sin^{2} (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} e^{2 y} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 y}$ をまとめます。

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$e^{2 y} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$e^{2 y} = 2 \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + 2 C$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

ステップ 3.4

左辺を展開します。

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ステップ 3.4.1

$2 y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{2 y})$ を展開します。

$2 y \ln (e) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

ステップ 3.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$2 y \cdot 1 = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

ステップ 3.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 y = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

ステップ 3.5

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2})$ を展開します。

$2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$

ステップ 3.6

$2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

ステップ 3.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

ステップ 3.6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ の $0$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$1 = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$ として書き換えます。

$\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

ステップ 6.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

ステップ 6.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C) = 2 \cdot 1$

ステップ 6.3.1.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.2.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\ln (2 \ln (1 + 0^{2}) + C) = 2 \cdot 1$

ステップ 6.3.1.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\ln (2 \ln (1 + 0) + C) = 2 \cdot 1$

ステップ 6.3.1.1.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\ln (2 \ln (1) + C) = 2 \cdot 1$

ステップ 6.3.1.1.2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\ln (2 \cdot 0 + C) = 2 \cdot 1$

ステップ 6.3.1.1.2.4

$2$ に $0$ をかけます。

$\ln (0 + C) = 2 \cdot 1$

ステップ 6.3.1.1.3

$0$ と $C$ をたし算します。

$\ln (C) = 2 \cdot 1$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\ln (C) = 2$

ステップ 6.4

$C$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (C)} = e^{2}$

ステップ 6.5

対数の定義を利用して $\ln (C) = 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2} = C$

ステップ 6.6

方程式を $C = e^{2}$ として書き換えます。

$C = e^{2}$

ステップ 7

$e^{2}$ を $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$e^{2}$ を $C$ に代入します。

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$

ステップ 7.2

$\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ に書き換えます。

$y = \frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$

ステップ 7.3

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ を簡約します。

$y = \ln ({(2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 7.4

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (1 + \sin^{2} (x))$ を簡約します。

$y = \ln ({(\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$

微分積分 例

微分積分例